不用代數結構如何描述實數

2021-01-15 哆嗒數學網

本文編譯自 @downwardsLST 的推特帳號

編譯作者，Math001

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有很多定義實數的辦法，他們之中很多都是等價的。但是，如果我想放棄所有的代數結構，只是使用序結構來定義，會怎麼樣呢？(就是說只考慮大小關係，不考慮加減乘除之類的運算)。首先，我需要一個全序集——這樣的集合裡任意兩個元素都可以比較大小。

自然數就是那樣的集合，而且每個自然數都有一個後繼。但是，我們想讓自然沒有端點，於是我們加入「沒有最大元素和最小元素」這樣的條件。好了，這樣整數就誕生了。但是，這樣的集合有太多的縫隙，每兩個連續的整數間都有縫隙。

我們需要填補這些縫隙，於是需要打破每個整數都有前驅或後繼這樣的狀態。於是，我們這樣要求，要求任意兩個不同元素之間都有另外一個元素：這個性質叫做(序)稠密性。

看吧：有理數就是稠密的。但是，有理數仍然有很多「小洞」。為了填補這些洞我們要求「完備性」：每一個有界子集都有上確界和下確界。實數就滿足這樣的性質，填補那些洞的數叫做無理數。

但是，我們還要現在我們得到的實數不能「太散了」，所以還需要加入條件：如果有一串開區間兩兩不交，那麼這一串開區間至多可數。所以有個問題是這樣的：以上的這些性質是不是就能刻畫實數？

這就是「舒斯林假設」( Suslin Hypothesis, 簡稱SH)。舒斯林假設說：如果一個有序集合滿足之前說的所有條件，那麼他是否和實數（通常意義的實數）是同構的（這裡指序同構）。

你也許已經猜到了：蘇斯林假設在ZFC公理體系下不可判定。

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