計算機代數淺談

2021-03-01 科學出版社數學教育

截至20世紀80年代, 提到計算機和應用數學的結合,對於大多數人來說想到的都是數值計算. 數值計算是研究實數演算的學科,更確切地說, 數值計算是尋找適當的有理數去逼近實際問題的實數解.這類問題往往通過代數、微分、積分或者其他類型的方程以及適當的初、邊值條件來表達.因為計算機還不能準確地表達實數,所以通過數值計算得到的結果是近似的.

實際上, 對於科學與工程技術以及數學研究本身, 不僅需要數值計算,還需要公式推導、表達式化簡、精確地求解各種方程等計算.後面這三項計算的特點是對一些符號按確定的規則進行演算,並且計算過程都是精確的, 人們稱之為符號計算.但是這種計算隨著問題複雜程度的提高, 需要佔用大量的時間和精力.

如,1847年, 法國天文學家Delaunay花了10年時間推導出了月球軌道公式,又花10年時間檢查他的結果, 並於1867年公布於世, 報告長達128頁.

另一個典型的例子是海王星的發現,也是由於人們在推導中發現天王星的實際運行軌道與當時的理論不符,從而猜想其他未知行星的存在, 經仔細觀測發現了海王星.

如何用機器代替人的這些繁瑣複雜的機械計算, 從而提高效率,節約人的時間和精力, 是每個研究工作者及實際工作者所希望的.

G. W.Leibniz曾有過推理機器的設想. 他為此研究過邏輯,設計並造出了能做乘法的機器,進而萌發了設計萬能語言和造一臺通用機的構想.他的努力促進了Boole代數、數理邏輯以及計算機科學的研究.後人沿著這一方向形成了定理機器證明的邏輯方法.

D.Hilbert更是明確地提出了公理系統中的判定問題：有了一個公理系統,就可以在這個系統基礎上提出各式各樣的命題,那麼有沒有一種機械的方法, 即算法, 對每個命題加以檢驗,判明它成立與否呢？

現代計算機技術的發展為實現這種願望提供了基礎,計算機代數這門學科也應運而生.它是研製、開發和維護符號計算軟體並研究其數學理論的學科.計算機代數作為新的計算工具,在理論物理、高能物理、天體力學、化學化工、機械學、機器人設計、控制論、信息科學以及計算機的各種應用領域都得到了廣泛應用,同時也成為數學研究和教學的有力工具.

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