今天凌晨回到了深圳，飛機上一位大哥喝醉了，呼嚕聲與沖天的酒氣，讓我只有換到了一個空位上。飛機能挨著坐，也算是一個小相識，不過大家以後喝醉了還是不要坐飛機了，旁邊的人真是在煎熬中。扯遠了，因為最近在複習復變域，遇見了e，想起了lnx和它的一場相識（當然，復變域中，e僅僅是一個符號）。有時候沿著大拿們走過的路再走一遍，不但可以體會一下他們在未知中發現科學的驚喜，還可以學習到他們分析和解決問題的方法。
lnx的出現要早於e的發現，如果e一直沒發現，估計大拿們一直不知道lnx是基於什麼數的對數函數。
注意：為了簡單介紹，這裡就省了積分的常量，而且沒對函數的連續性、可微性作證明，這些可以參考相關的資料。
早先科學前輩們知道了冥指數積分的表達示，如下：
但問題來了，如果n是負1的情況下，1/x的原函數是什麼？顯然，分子為零是無解的。一開始當然是找不到，於是定義了如下的函數：
這樣開始，數學家們對這個函數進行了很多的分析，根據其導數為x的倒數，可以得到下面幾個主要的特性：
這就說明存在
而且可以知道
接下來
所以存在
看出來了麼？F這個函數完全表現為一個對數的特點，因此把函數改寫為logn(x)，即以一個未知數n為底的對數，簡寫為lnx，注意，現在只是知道有一個數的對數求導可以得到1/x，但這個數是什麼不知道！
從lnx求導為1/x，我們得到了上述這些特點，接下來數學家們又開始研究其反函數x=E(y)，對E(y)求導可以得到什麼？
其反函數的導數為其自身。
於是，我們就可以根據E(x)導數為其本身，來求a^x的導數了：
到了這一步，這個底數還是未知，特徵都找到了（當然還有其它的）。接下來e開始登場了，e起源於這樣一個極限
當n的值還比較小的時候，這個函數表現為發散遞增的特點，一開始還未引起大拿們的注意。而銀行家在計算利息，天文學家在計算軌跡時，n的取值往往取得很大，此時實際應用中發現隨著n值的變大，這個極限開始表現為收斂性，始終不會超出一個數，而這個數又表現為一個無理數，就像PI一樣，把它用e來表示（好像是為了紀念天才歐拉），於是一個與藝術美有關的數就出來了，數學家們對它越研究越有興趣，其中一個就是它的指數函數e^x。
於是它的導數：
自然而然，就開始關心lne為多少了
lne的推導如下：
於是
就這樣數學家們終於找到了lnx的反函數e^x，兩者就這麼自然而然的相識了，lnx原來是以e為底的對數函數。既然這麼自然而自然，就叫自然對數和自然指數吧。