指數函數、對數函數

2021-01-08 高考網

  指數函數、對數函數

  一、計算:

  例1.化簡

  (1)  (2)

  (3)

  解:(1)x的指數是

  所以原式=1

  (2)x的指數是

  =0

  所以原式=1

  (3)原式=

  例2.若,求

  解:因為

  所以f(x)+f(1-x)=1

  =

  例3.已知m,n為正整數,a>0,a11,且

  求m,n

  解:左邊=

  原式為loga(m+n)=logamn

  得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1

  因為m,n?N,所以從而m=n=2

  二、比較大小

  例1.試比較與的大小

  解:令121995=a>0則

  ?=

  所以>

  例2.已知函數f(x)=logax (a>0,a11,x?R+)若x1,x2?R+,試比較與的大小

  解:f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)

  ∵x1,x2?R+,∴ (若且唯若x1=x2時,取「=」號),

  當a>1時,有,∴

  即 (若且唯若x1=x2時,取「=」號)

  當a>1時,有,∴

  即 (若且唯若x1=x2時,取「=」號)

  例3.已知y1=,y2=,當x為何值時

  (1)y1=y2     (2)y1>y2     (3)y1<y2

  解:由指數函數y=3x為增函數知

  (1)y1=y2的充要條件是:2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3

  (2)y1>y2的充要條件是:2x2-3x+1>x2+2x-5 解得x<2或x>3

  (3)y1<y2的充要條件是:2x2-3x+1<x2+2x-5 解得2<x<3

  三、證明

  例1.對於自然數a,b,c (a£b£c)和實數x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2)

  求證:a+b=c

  證明:由(1)得:

  ∴

  把(2)代入得:abc=70=2′5′7,a£b£c

  由於a,b,c均不會等於1,故a=2,b=5,c=7從而a+b=c

  例2.已知A=6lgp+lgq,其中p,q為素數,且滿足q-p=29,求證:3<A<4

  證明:由於p,q為素數,其差q-p=29為奇數,∴p=2,q=31

  A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984

  1000<1984<10000 故3<A<4

  例3.設f(x)=logax (a>0,a11)且 (q為銳角),求證:1<a<15

  證明:∵q是銳角,∴,從而a>1

  又f(15)==sinq+cosq

  =1

  故a<15  綜合得:1<a<15

  例4.已知0<a<1,x2+y=0,求證:

  證:因為0<a<1,所以ax>0,ay>0由平均值不等式

  故

  四、圖象和性質

  例1.設a、b分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根,求a+b及log2a+2b

  解:在直角坐標系內分別作出函數y=2x和y=log2x的圖象,再作直線y=x和y= -x+3,由於y=2x和y=log2x互為反函數,故它們的圖象關於直線y=x對稱,方程log2x+x-3=0的根a就是直線y= -x+3與對數曲線y=log2x的交點A的橫坐標,方程2x+x-3=0的根b就是直線y= -x+3與指數曲線y=2x的交點B的橫坐標

  設y= -x+3與y=x的交點為M,則點M的橫坐標為(1.5,1.5),

  所以a+b=2xM=3  log2a+2b=2yM=3

  例6.設f(x)=min(3+,log2x),其中min(p,q)表示p、q中的較小者,求f(x)的最大值

  解:易知f(x)的定義域為(0,+¥)

  因為y1=3+在(0,+¥)上是減函數,y2=log2x在(0,+¥)上是增函數,而當y1=y2,即

  3+=log2x時,x=4,所以由y1=3+和y2=log2x的圖象可知

  故當x=4時,得f(x)的最大值是2

  另解:f(x)£3+=3- (1)    f(x)=log2x  (2)

  (1)′2+(2)消去log2x,得3f(x)£6,f(x)£2

  又f(4)=2,故f(x)的最大值為2

  例7.求函數的最小值

  解:由1-3x>0得,x<0,所以函數的定義域為(-¥,0)

  令3x=t,則t?(0,1),於是

  故當x= -1時,得y的最小值-2+2log23

  五、方程和不等式

  例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5  (2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0

  解:(1)原方程即:log22x+log2(2x-31) =5

  log2[2x(2x -31)]=5  (2x)2-31×2x=32

  解得:2x=32, ∴x=5

  (2)原方程即:(2lgx)2-5×2lgx+4=0

  解得:x1=100,x2=1

  例2.設a>0且a11,求證:方程ax+a-x=2a的根不在區間[-1,1]內

  解:設t=ax,則原方程化為:t2-2at+1=0  (1)

  由D=4a2-430得a31,即a>1

  令f(t)= t2-2at+1

  f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0

  所以f(t)的圖象與橫軸有的交點的橫坐標在之外,故方程t2-2at+1=0在之外有兩個實根,原方程有兩實根且不在區間[-1,1]內

  例3.解方程:lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大於實數x的最大整數)

  解:由[x]的定義知,[x]£x,故原方程可變為不等式:

  lg2x-lgx-2£0即-1£lgx£2

  當-1£lgx<0時,[lgx]= -1,於是原方程為lg2x=1

  當0£lgx<1時,[lgx]=0,原方程為lg2x=2,均不符合[lgx]=0

  當1£lgx<2時,[lgx]=1,原方程為lg2x=3,所以lgx=,

  當lgx=2時,x=100

  所以原方程的解為x1=

  例4.當a為何值時,不等式

  有且只有一解

  解:易知:a>0且a11,設u=x2+ax+5,原不等式可化為

  (1)當0<a<1時,原不等式為 (1)

  由於當u30時,與均為單調增函數,所以它們的乘積

  也是單增函數

  因為f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1

  所以(1)等價於u34,即x2+ax+534此不等式有無窮多解

  (2)當a>1時,不等式化為 (2)

  由f(4)=1知,(2)等價於0£u£4,即0£x2+ax+5£4

  從上式可知,只有當x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0,a=2時,不等式0£x2+ax+5£4有唯一解x= -1

  綜上所述,當a=2時原不等式有且只有一個解

  例5.已知a>0且a11,試求使方程有解的k的取值範圍

  解:原方程即

  即

  分別解關於的不等式、方程得: (k10時)

  所以解得k< -1或0<k<1

  又當k=0時,代入原式可推出a=0與已知矛盾,故k的取值範圍為(-¥,-1)U(0,1)

 

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