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對數函數及其性質
【學習目標】
1.理解對數函數的概念，體會對數函數是一類很重要的函數模型；
2.探索對數函數的單調性與特殊點，掌握對數函數的性質，會進行同底對數和不同底對數大小的比較；
3．了解反函數的概念，知道指數函數與對數函數互為反函數．
【要點梳理】
要點一、對數函數的概念
1．函數y=logax(a>0，a≠1)叫做對數函數.其中是自變量，函數的定義域是，值域為．
2．判斷一個函數是對數函數是形如的形式，即必須滿足以下條件：
（1）係數為1；
（2）底數為大於0且不等於1的常數；
（3）對數的真數僅有自變量．
要點詮釋：
（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函數才叫做對數函數，像等函數，它們是由對數函數變化得到的，都不是對數函數。
（2）求對數函數的定義域時應注意：①對數函數的真數要求大於零，底數大於零且不等於1；②對含有字母的式子要注意分類討論。
要點二、對數函數的圖象與性質
要點詮釋：
關於對數式logaN的符號問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應用時經常出錯.下面介紹一種簡單記憶方法，供同學們學習時參考.
以1為分界點，當a，N同側時，logaN>0；當a，N異側時，logaN<0.
要點三、底數對對數函數圖象的影響
1．底數制約著圖象的升降．
如圖
要點詮釋：
由於底數的取值範圍制約著對數函數圖象的升降（即函數的單調性），因此在解與對數函數單調性有關的問題時，必須考慮底數是大於1還是小於1，不要忽略．
2．底數變化與圖象變化的規律
在同一坐標系內，當a>1時，隨a的增大，對數函數的圖像愈靠近x軸；當0<a<1時，對數函數的圖象隨a的增大而遠離x軸.(見下圖)< p>
要點四、反函數
1．反函數的定義
設分別為函數的定義域和值域，如果由函數所解得的也是一個函數（即對任意的一個，都有唯一的與之對應），那麼就稱函數是函數的反函數，記作，在中，是自變量，是的函數，習慣上改寫成（）的形式．函數（）與函數（）為同一函數，因為自變量的取值範圍即定義域都是B，對應法則都為．
由定義可以看出，函數的定義域A正好是它的反函數的值域；函數的值域B正好是它的反函數的定義域．
要點詮釋：
並不是每個函數都有反函數，有些函數沒有反函數，如．一般說來，單調函數有反函數．
2．反函數的性質
（1）互為反函數的兩個函數的圖象關於直線對稱．
（2）若函數圖象上有一點，則必在其反函數圖象上，反之，若在反函數圖象上，則必在原函數圖象上．
【鞏固練習】
1．若
，則
的取值範圍是（）
A．
B．
或
C．
D．或
2．函數
的定義域為（）
A．（0，e]B．（－∞，e]C．（0，10]D．（－∞，10]
3．函數
的圖象關於（）
A．
軸對稱B．
軸對稱C．原點對稱D．直線
對稱
4．函數
的大致圖象是（）
5．設
，
，
，則（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．圖中曲線是對數函數y=logax的圖象，已知a值取
，則相應於C1，C2，C3，C4的a值依次為()
A．
B．
C．
D．
7．函數
的值域為()
A．
B．
C．
D．
8．下列函數中，在
上為增函數的是()
A．
B．
C．
D．
9．函數
（a＞0且a≠1）必過定點．
10．已知
，則
、
、0、1間的大小關係是。
11．（2016 上海）已知點（3，9）在函數
的圖象上，則f（x）的反函數
________．
12．函數
是(奇、偶)函數．
13．已知函數
其中
（1）求函數
的定義域；
（2）若函數的最小值為
，求的值。