利用面積法求點的坐標(七年級)

閱讀材料：所謂面積法，就是利用面積相等或者成比例，來證明其他的線段相等或為成比例線段的方法。其價值不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。

面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式（「算兩次」策略）聯繫起來，通過運算達到求證的結果。

所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關係變成數量之間的關係，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

例、如圖，在平面直角坐標系中，A(a，0)，C(b，2)，且滿足

過C作CB⊥x軸於點B，AC交y軸於點F.

（1）求三角形ABC的面積及點F的坐標.

（2）若過B作BD//AC交y軸於D，且AE、DE分別平分∠CAB，∠ODB，如圖,求∠AED的度數.

（3）點P在y軸的負半軸上，連AP、CP，CP交x軸於點Q，若三角形APQ和三角形BCQ的面積相等，請求出P點的坐標.

（1）分析：由非負數的和為0，則每個非負數均為0可得到關於a,b的方程組，解出a,b的值，從而求出三角形BCA的面積，利用面積相等法可求出點F的坐標。

求點F的坐標還可用下面的方法

（2）分析：（法1）利用平行線拐點模型，構造平行線對角進行轉移。（方便表達可引入參數）

(2)令∠CAE=x，

∵AE平分∠CAB，

∴∠CAB=2x.

∵∠AOF=90°

∴∠AFO=90°-2x.

∵BD//AC.

∴∠ODB=∠AFO=90°-2x.

∵DE平分∠ODB，

∴∠BDE=∠ODE=45°-x.

過點E作EG∥AC，

∵BD//AC.

∴EG∥BD//AC.

∴∠AEG=∠CAE=x

∠DEG=∠BDE=45°-x.

∴∠AED=∠AEG+∠DEG

          =x+45°-x

          =45°.

（2）分析：（法2）直接利用三角形的內角和進行計算（帶著參數）。

(2)連AD，令∠OAE=x，

∵AE平分∠CAB，

∴∠CAB=2x.

∵∠AOF=∠AOD=90°

∴∠AFO=90°-2x，∠OAD+∠ODA=90°.

∵BD//AC.

∴∠ODB=∠AFO=90°-2x.

∵DE平分∠ODB，

∴∠ODE=∠ODE=45°-x.

∴在△ADE中，

∴∠AED=180°-(∠EAD+∠ADE)

                =180°-(90°+x+45°-x)

                =45°.

（3）分析：（法1）轉化為三角形APC和三角形ABC的面積相等,利用割補法列方程求解.

（3）分析：（法2）轉化為三角形APB和三角形PBC的面積相等,直接列方程求解.

（3）分析：（法3）利用面積法求出點Q的坐標（用含m的式子表示)，根據面積相等的條件列方程求解。