初中必考:(坐標系中)求線段長和三角形面積的通用方法

2020-12-04 百家號

一、學習目標

1、由數軸上兩點間的距離轉化為坐標系中求線段的長度，進而探索坐標系內任意兩點間的距離；

2、運用所掌握的方法解決坐標系內三角形面積的解題策略；

3、體驗和感受用「轉化」的數學思想，指導我們探究學習數學問題.

二、學習過程

【基礎題型】

1、如下圖所示，數軸上有A、B兩點，分別表示2和-2，C是數軸上一動點.

①求AB的長；②若點C表示的數是x，請用含x的式子表示出AC和BC的長；③若AC=3，求點C.

解析：①AB=2-（-2）=4；②AC=∣x-2∣，BC=∣x-（-2）∣=∣x-2∣；③分兩種情況：若點C在點A的右邊，則點C表示的數是5；若點C在點A的左邊，則點C表示的數是-1.

點評：（i）絕對值的意義就是表示數軸上兩點間的距離，任意實數的絕對值永遠為非負數；（ii）數軸上兩定點間的距離就是「大數減小數」，更確切可以記為「右減左」；（iii）若數軸上兩點是一定一動，則它們的距離可以用含絕對值符號的式子表示出來.

2、如下圖，在平面直角坐標系中，直線m和n分別平行於坐標軸，且交於點C，其中，m和y軸交於點D，n和x軸交於點E，已知點A（3，2）和B（1，4）分別在直線m和n上，求 ：

①點C的坐標；②AC和BC；③若點F（x，0）是x軸上一點，且位於直線n的右側，表示出△CEF的面積.若點F位於直線n的左側呢？

解析：①C（1，2）；②AC=3-1=2，BC=4-2=2；③如下圖，當點F位於直線n的右側時，x ＞1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（x-1）×2=x-1；當點F位於直線n的左側時，x ＜1 ，S△CEF=1/2×EF×CE=1/2×（1-x）×2=1-x.

點評：（i）若兩點在x軸上，則求它們之間的距離的方法是「右減左」，若兩點在y軸上，則求它們之間的距離的方法是「上減下」；（ii）求坐標系中三角形的面積，就是用上面的方法，把底和高分別表示出來後，代入三角形的面積公式化簡計算即可.

【轉化題型】

1、如下圖，在平面直角坐標系中，線段AB位於第一象限內，若A（4，1），B（1，3），則：①求AB的長；②若點C（-1，1）求三角形ABC的面積.

解析：①因為點A和C的縱坐標都是1，所以AC∥x軸，如下圖，過點B作BD⊥x軸於點D，交AC於點E，則BD⊥AC.

在Rt△BEA中，AE=3，BE=2，則由勾股定理可算得AB=√13.

②△BCA中，AC=5，BE=2，故三角形ABC的面積=1/2×AC×BE=5.

2、如下圖，在平面直角坐標系中，已知：A（-2，1），B（3，4），C（3，2），求S△ABC.

解析：如下圖，過點A作AM⊥BC，垂足是M.S△ABC=1/2×BC×AM=1/2×2×5=5.

點評：三角形的三條邊中若有和坐標軸平行的邊，就以這條邊為底，求出這條邊上的高，然後利用三角形面積公式求解即可.

本題還可以用補形法求解，比如可分別過點A和C向x軸作垂線，垂足為M和N，如下圖所示，則S△ABC=S梯形AMNB-S梯形AMNC. 本篇主旨是探索坐標系中求三角形面積的通用方法，因此其他解法，不再一一贅述.

3、如下圖，在平面直角坐標系中，已知：A（-2，1），B（1，4），C（3，2），求S△ABC.

解析：如下圖，過點B作BD∥y軸，交AC於點D.設過AC的直線的解析式為y=kx+b，把A（-2，1）和C（3，2）分別代入解方程組，可求得k=1/5，b=7/5，即過AC的直線的解析式為y=1/5x+7/5. 設點D（1，n）， 代入解析式可得n =8/5. 設 △BDA和△BDC的高分別為h1和h2，則S△ABC=S△BDA+S△BDC=1/2×BD×h1+1/2×BD×h2=1/2×BD×（h1+×h2）=1/2×12/5×5=6.

點評：h1+h2的和就是「C的橫坐標減去A的橫坐標 」，可以認為是△ABC水平的寬度，因此，求解坐標系中斜放置的三角形的面積，通常記為「水平寬×豎直高」的一半，其中豎直高就相當於題中BD的長.

三、學習總結

①坐標軸上兩點間的距離，或者是坐標系中橫平豎直線上兩點間的距離，都可以用「右減左（水平線）」和「上減下（豎直線）」來表示；

②坐標系中斜放置的線段的長度，可以轉化為直角三角形中用勾股定理求斜邊，或者運用兩點間的距離公式：設A（x,y）,B(x,y)是平面直角坐標系中的兩個點,則

③坐標系中處理問題的原則是：作橫平豎直的線.

④求三角形的面積時分兩種情況：

（i）有一條邊在坐標軸上：以在坐標軸上的邊為底邊，過頂點作垂線，如下圖1，S△ABC＝1/2·AB·|yC|

（ii）沒有邊在坐標軸上（即斜放置的三角形），過頂點作平行於坐標軸的直線，如下圖2，S△PAC＝1/2·PP′·|xC－xA|，即「水平寬×豎直高的一半」.（這個結論是9年級二次函數綜合題中經常用到的公式）

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