一直角三角形繞另一直角三角形斜邊中點旋轉相似求線段長

模型解讀

此種題型特點：兩個全等直角三角形，其中一個直角三角形，繞另一個直角三角形斜邊中點旋轉，構成新的三角形，已知其中三角形相似，求線段長或者某線段長等於多少時，其中的三角形相似。解題關鍵點：

①相似三角形的判定與性質；

②旋轉的性質；

③勾股定理；

④等腰三角形的判定；

⑤直角三角形斜邊上的中線性質等知識.

模型展示

將兩塊全等的三角板如圖放置，點O為AB中點，AB＝A′B′＝10，BC＝B′C′＝6，現將三角板A′B′C′繞點O旋轉，B′C′、A′B′與邊AC分別交於點M、N，當CM＝( )時，△OMN與△BCO相似．

解題分析

由直角三角形斜邊上的中線性質得出OC＝1/2AB＝OA＝OB＝5，由勾股定理求出AC＝8，由全等三角形的性質得出∠B＝∠MON．△OMN與△BCO相似，分兩種情況：

①當OM＝MN時，作OD⊥AC於D，CE⊥AB於E，則AD＝CD＝1/2AC＝4，由勾股定理求出OD，由三角形的面積求出CE，由相似三角形的性質得出比例式：

規範解答

解：∵∠ACB＝90°，點O為AB中點，

AB＝A′B′＝10，BC＝B′C′＝6，

∵△ABC≌△A′B′C′，

∴∠B＝∠MON．

若△OMN與△BCO相似，分兩種情況：

①當OM＝MN時，作OD⊥AC於D，CE⊥AB於E，如圖所示：

②當ON＝MN時，∵△OMN∽△BCO，

△OMN與△BCO相似．