初中數學:求直角三角形斜邊上的角平分線,你會幾種方法?

2020-12-03 初中數學解題秀

我們知道，直角三角形斜邊上的中線，等於其斜邊的一半。

那麼，直角三角形斜邊上的角平分線，你會求嗎？本文舉一例，提供四種方法，來探討這個問題。

例題：如圖，在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∠A=60°，CD平分∠ACB，若AD=2，則CD=__________

先來分析本題：這是個「好」直角三角形，帶有，∠B=30°，∠A=60°，而且由CD平分∠ACB得到∠ACD=∠BCD=45°，本題自帶很多特殊角，可以為我所用，方便計算：含有60°的直角三角形三邊比1：√3:2；含有45°的直角三角形三邊比1：1：√2。

方法1：「秒殺」口算！作DE⊥AC.如圖解，∠A=60°，AD=2,所以AE=1,DE=√3.又由∠ACD=45°，所以CD=√2DE=√2×√3=√6.這個方法，充分使用60°，45°特殊角，口算解題，漂亮！

方法2：再來個秒殺口算法！作DE⊥BC.如圖解，充分利用含有60°的直角三角形三邊比1：√3:2；含有45°的直角三角形三邊比1：1：√2，由∠BCD=45°，可設EC=ED=x，則直角三角形△CDE中CD=√2x；直角三角形△BDE中BE=√3x,BD=2x,放在最大的直角三角形△ABC中，AC=1/2AB=x+1,而BC=√3AC,所以可得方程：√3x+x=√3(x+1),口算：x=√3,故CD=√2x=√6.

方法3：類比參考「倍長中線法」的思路，延長CD到E，使EB⊥BC.如此會得到相似三角形（相似比√3:1）。

方法4：應用三角形角平分線定理：BD:AD=BC:AC(可用相似法或面積法來證明).這個定理在此不做展開證明，若用S=1/2sinα可以秒證，初中平面幾何方法則需要輔助線做平行構造相似，雖然經典，不是我願，記住結論，小題直用。BD:AD=BC:AC=√3，所以BD=2√3，作DE⊥BC.則口算DE=√3,故CD=√2x=√6.

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