初中三角形知識點
一、三角形的有關概念
1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫三角形。
三角形的特徵：①不在同一直線上;②三條線段;③首尾順次相接;④三角形具有穩定性。
2.三角形中的三條重要線段：角平分線、中線、高
(1)角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。
(2)中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。
(3)高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。
說明：①三角形的角平分線、中線、高都是線段;
②三角形的角平分線、中線都在三角形內部且都交於一點;三角形的高可能在三角形的內部(銳角三角形)、外部(鈍角三角形)，也可能在邊上(直角三角形)，它們(或延長線)相交於一點。
二、三角形的邊和角
三邊關係：三角形中任意兩邊之和大於第三邊。
由三邊關係可以推出：三角形任意兩邊之差小於第三邊。
三、三角形內、外角的關係
1.三角形的內角和等於180°。
2.直角三角形的兩個銳角互餘。
3.三角形的一外角等於和它不相鄰的兩個內角之和，三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。
4.三角形的外角和為360°。
四、等腰三角形與直角三角形
1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形稱為等腰三角形，相等的兩邊叫做等腰三角形的腰，三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形(或正三角形)。
說明：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況。
2.直角三角形：有一個角是直角的三角形是直角三角形，它的兩個銳角互餘。
五、三角形的分類：
六、三角形的面積：
1.一般計算公式;
2.性質：等底等高的三角形面積相等。
七、初中三角形中線定理_
中線定理又稱阿波羅尼奧斯定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關係。
定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方和等於底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。
中線的定義
任何三角形都有三條中線，而且這三條中線都在三角形的內部，並交於一點
由定義可知，三角形的中線是一條線段。
由於三角形有三條邊，所以一個三角形有三條中線。
且三條中線交於一點。這點稱為三角形的重心。
每條三角形中線分得的兩個三角形面積相等。
八、三角形的內角和
在同一平面內,由一些不在同一條直線上的線段首位順次相接所圍成的封閉圖形叫做多邊形.組成多變形的那些線段叫做多邊形的邊.相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.多變形相鄰兩邊所夾的角叫做多邊形的內角,簡稱多邊形的角.多變形的角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角叫做多邊形的外角.
三角形內角和定理：三角形三個內角和等於180
在原來圖形上添畫的線叫做輔助線
依據三角形內角的特徵,對三角形進行分類：三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形;有一個角是直角的三角形叫做直角三角形;有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形;銳角三角形和鈍角三角形統稱斜三角形.
在直角三角形中,夾直角的兩邊叫做直角邊,直角的對邊叫做斜邊.
九、三角形公式
解斜三角形： 在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c. 則有
(1)正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R為三角形外接圓半徑)
(2)餘弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 註：勾股定理其實是餘弦定理的一種特殊情況。
(3)餘弦定理變形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
斜三角形的解法： 已知條件 定理應用 一般解法 一邊和兩角 (如a、B、C) 正弦定理 由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時 有一解。 兩邊和夾角 (如a、b、c) 餘弦定理 由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解時有一解。
三邊 (如a、b、c) 餘弦定理 由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解時只有一解。 兩邊和其中一邊的對角 (如a、b、A) 正弦定理 由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正 弦定理求出C邊，可有兩解、一解或無解。
勾股定理(畢達哥拉斯定理) 內容：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等於斜邊長的平方。 幾何語言：若△ABC滿足∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2 勾股定理的逆定理也成立，即兩條邊長的平方之和等於第三邊長的平方，則這個三角形是直角三角形 幾何語言：若△ABC滿足，則∠ABC=90°。
射影定理(歐幾裡得定理) 內容：在任何一個直角三角形中，作出斜邊上的高，則斜邊上的高的平方等於高所在斜邊上的點到不是兩直角邊垂足的另外兩頂點的線段長度的乘積。
幾何語言：若△ABC滿足∠ABC=90°，作BD⊥AC，則BD2=AD×DC 射影定理的拓展：若△ABC滿足∠ABC=90°，作BD⊥AC， (1)AB2=BD·BC (2)AC2;=CD·BC (3)ABXAC=BCXAD
正弦定理內容：在任何一個三角形中，每個角的正弦與對邊之比等於三角形面積的兩倍與三邊邊長和的乘積之比 幾何語言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc 結合三角形面積公式，可以變形為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是外接圓半徑)
餘弦定理 內容：在任何一個三角形中，任意一邊的平方等於另外兩邊的平方和減去這兩邊的2倍乘以它們夾角的餘弦 幾何語言：在△ABC中，a2=b2+c2-2bc×cosA 此定理可以變形為：cosA=(b2+c2-a2)÷2bc忽略構成三角形的條件。
常見考法
(1)考查三角形的性質和概念;(2)根據三角形內角和以及內、外角關係，給出已知兩角，來求第三個角;(3)根據三角形內、外角的關係，比較兩角大小的;(4)利用三邊關係判斷三條線段能否組成三角形或給出三角形的兩邊長，來確定第三邊長的取值範圍，亦或證明線段之間的不等關係。
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