#初中數學學習#
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02單元要點
如果說要評選一個圖形，這是圖形是我們初中三年或者是學生生活中最值得記憶的圖形，那麼這個圖形當之無愧的應該是直角三角形。
首先從直角三角形本身來看，它有一個角是直角，有兩條直角邊，有一條斜邊。它的兩個銳角互餘，它的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，它斜邊上的中線等於斜邊的一半，如果有一個角等於30度，它所對的直角邊等於斜邊的一半，它的邊與角具有三角函數關係。
再次，直角三角形是初中幾何中解決圖形與數量關係最基本的圖形，無論是三角形，還是四邊形，多邊形問題，都需要轉化為直角三角形問題進行解決。
在本單元中，過平移、旋轉、對稱和全等三角形等知識點，考查相關概念的判定和性質是我們最常見的考法。很多時候，也會通過直角三角形自身的屬性，結合全等三角形來證明線段和角相等，是初中幾何圖形中實現圖形與數量關係轉化的最重要的工具之一．
讓我們帶著對直角三角形進行全面認識的目標，一起去看一看近幾年的中考題型吧。
03中考真題精選
04參考答案
05經典題目解析
一、選擇題
1.分析先利用含30度角的直角三角形的性質求出BD，再利用直角三角形的性質求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，進而判斷出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出結論．
2. 分析作P點分別關於OA、OB的對稱點C、D，連接CD分別交OA、OB於M、N，如圖，利用軸對稱的性質得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用兩點之間線段最短判斷此時△PMN周長最小，作OH⊥CD於H，則CH=DH，然後利用含30度的直角三角形三邊的關係計算出CD即可．
3. 分析由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M於點P′，當點P位於P′位置時，OP′取得最小值，據此求解可得．
4. 分析根據等邊三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等邊三角形的性質，直角三角形的性質一一判斷即可.
5. 分析根據等腰直角三角形的判定即可得到結論．解答解：如圖所示，使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數是3，故選：B．
6. 分析將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，根據旋轉的性質得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延長BP，作AF⊥BP於點FAP=3，PE=4，根據勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數，在直角△APF中利用三角函數求得AF和PF的長，則在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，進而求得三角形ABC的面積．
7. 分析先判斷出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判斷出A正確，進而判斷出AE=CE，得出DE是△ABC的中位線判斷出B正確，利用等式的性質判斷出D正確．
8. 分析如圖連接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解決問題；解答解：如圖連接CD，AC，DG，AG．
9. 分析作MG⊥BC於G，MH⊥CD於H，根據旋轉變換的性質得到△MBC是等邊三角形，根據直角三角形的性質和勾股定理分別求出MH、CH，根據三角形的面積公式計算即可．
10. 分析如圖設AB交CD於O，連接BD，作OM⊥DE於M，ON⊥BD於N．想辦法求出△AOB的面積．再求出OA與OB的比值即可解決問題。
11. 分析根據直角三角形的斜邊上的中線的性質，即可得到△CDF是等邊三角形，進而得到∠ACD＝60°，根據∠BCD和∠BDC的角平分線相交於點E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．點評本題主要考查了直角三角形的斜邊上的中線的性質，在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半．
12. 分析依據勾股定理的逆定理，三角形內角和定理以及直角三角形的性質，即可得到結論．點評本題考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
二、填空題
13. 分析分兩種情形分別求解：①如圖1中，當AQ=PQ，∠QPB=90°時，②當AQ=PQ，∠PQB=90°時.
14. 分析依據△DCM為直角三角形，需要分兩種情況進行討論：當∠CDM=90°時，△CDM是直角三角形；當∠CMD=90°時，△CDM是直角三角形，分別依據含30°角的直角三角形的性質以及等腰直角三角形的性質，即可得到摺痕MN的長．
15. 分析因為每個A點為等腰直角三角形的直角頂點，則每個點A的縱坐標為對應等腰直角三角形的斜邊一半．故先設出各點A的縱坐標，可以表示A的橫坐標，代入解析式可求點A的縱坐標，規律可求．
16. 分析當與點重合時和與重合時，根據的位置，可知的運動路徑是的長；由已知條件可以推導出是直角三角形，且，在中，求出即可求解．點評本題考查點的軌跡；能夠根據點的運動情況，分析出點的運動軌跡是線段，在30度角的直角三角形中求解是關鍵．
17. 分析分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三種情況，根據直角三角形的性質、勾股定理計算即可．點評本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那麼a2+b2＝c2．
18. 分析根據直角三角形斜邊上中線的性質，即可得到DE＝BE＝AB＝5，再根據摺疊的性質，即可得到四邊形BCDE的周長為5×4＝20．點評本題主要考查了摺疊問題，摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．
19. 分析根據直角三角形斜邊上的中線性質得到，則，再利用三角形外角性質得到，然後根據平行線的性質求的度數．點評本題考查了直接三角形斜邊上的中線：在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半（即直角三角形的外心位於斜邊的中點）．也考查了平行線的性質．
20. 分析過點作，垂足為，則，在中，利用三角形內角和定理可求出，在中，由角所對的直角邊等於斜邊的一半可求出的長，此題得解．點評本題考查了角平分線的性質、三角形內角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分線的性質及角所對的直角邊等於斜邊的一半，求出的長是解題的關鍵．
21. 分析，即可求出，，解直角三角形即可求得．點評本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質以及解直角三角形等，證得是含角的直角三角形是解題的關鍵．
三、解答題
22. 分析（1）作AC的垂直平分線，作以AC為直徑的圓，垂直平分線與圓的交點即為點B；（2）以C為圓心，AC為半徑作圓，格點即為點D；點評本題考查尺規作圖，等腰三角形的性質；熟練掌握等腰三角形和直角三角形的尺規作圖方法是解題的關鍵．
23.思路分析（1）由M為AB中點，延長EM交AD於F，從而△AMF≌△MBE，從而得到△DEF為等腰直角三角形．從而DM＝ME；（2）延長EM交AD於F，從而△AMF≌△MBE，從而得到△DEF為等腰三角形，再根據三角函數得到DM與ME的數量關係；（3）延長EM交AD於F，從而△AMF≌△MBE，從而得到△DEF為等腰三角形，再根據三角函數得到DM與ME的數量關係．
點評本題考查了全等三角形的判定和性質和直角三角形的性質。全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．解決本題還用到等腰三角形的性質和判定以及銳角三角函數等知識．
24. 分析（1）思路一、先利用旋轉求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，進而判斷出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出結論；思路二、同思路一的方法即可得出結論；（2）同（1）的思路一的方法即可得出結論．