一般地,直角三角形中,除直角外,共有五個元素,即三條邊和兩個銳角。由直角三角形中的已知元素,求出其餘未知元素的過程,稱之為解直角三角形。
利用直角三角形的邊角關係,知道其中的兩個元素(至少有一個是邊),就可以求出其餘三個未知元素。
解直角三角的四種基本類型:(1)已知兩直角邊;(2)已知一直角邊和斜邊;(3)已知一銳角和一直角邊;(4)已知一對角和斜邊。
在非直角三角形的問題中,往往通過作三角形的高,構造直角三角形來解決,而作高時,常從非特殊角的頂點作高。對於較複雜的圖形,往往通過「補形」或「分割」的方法構造出直角三角形,利用解直角三角形的方法實現問題的有機轉化。
解直角三角形的方法:「有斜(斜邊)用弦(正弦、餘弦),無斜用切(正切),寧乘勿除,取原避中」。意思就是當已知或求解中有斜邊時,就用正弦或餘弦,無斜邊時,就用正切;當所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解時,則用乘法,不用除法,既可由已知數據又可由中間數據求解時,則用已知數據,儘量避免用中間數據。
解直角三角形必備乾貨
邊角關係:勾股定理與三角函數
解直角三角形常用的概念仰角、俯角:在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角.坡度(坡比)、坡角:坡面的鉛直高度h和水平寬度L的比叫坡度(坡比),用字母i表示,即i=h/L,坡度一般寫成1:m的形式;坡面與水平線的夾角α叫坡角,則i=tanα=h/L.方位角:從正北或正南方向線到目標方向線所成的小於90°的水平角,叫做方位角。如:A點位於O點的北偏東30°方向,而B點位於O點的南偏東60°方向.
註:與仰角俯角、坡度坡角、方位角有關的問題,通常與勾股定理、銳角三角函數綜合考查。
中考題型:利用解直角三角形解決實際問題的方法
利用解直角三角形解決實際問題時,要讀懂題意,分析背景語言,由實際圖抽象出數學圖形,把實際問題化歸為直角三角形中的邊角問題。具體方法如下:
(1)緊扣三角函數的定義,尋找邊角關係.
(2)添加輔助線,構造直角三角形。作高線是常用的輔助線添加方法.
(3)逐個分析相關直角三角形,構造方程求解。一般設最短的邊為x,先分別在不同的直角三角形中用含x的代數式表示出未知邊,再根據兩個直角三角形邊的數量關係(和差或相等)列方程求出未知量.