#初中數學學習#
015.5.1 銳角三角函數的概念經典考題解讀
一、選擇題
1. 分析：延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，由tanB，設AD=5x，則AB=3x，然後可證明△CDE∽△BDA，然後相似三角形的對應邊 成比例可得，進而可得CE，DE，從而可求tan∠CAD．本題考查了銳角三角函數的定義，相似三角形的判定和性質以及直角三角形的性質，是基礎知識要熟練掌握，解題的關鍵是：正確添加輔助線，將∠CAD放在直角三角形中．
3. 考點KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數的定義．分析先設小正方形的邊長為1，然後找個與∠B有關的RT△ABD，算出AB的長，再求出BD的長，即可求出餘弦值．
4. 分析作直徑CD，根據勾股定理求出OD，根據正切的定義求出tan∠CDO，根據圓周角定理得到∠OBC＝∠CDO，等量代換即可．點評本題考查的是圓周角定理、銳角三角函數的定義，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
5. 分析如圖，過點作直線交線段延長線於點，連接交於點．根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷四邊形是菱形，則與垂直平分，易得，．所以由銳角三角函數定義作答即可．點評本題考查矩形的性質、菱形的判定與性質以及解直角三角形，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬於中考常考題型．
6. 分析點A，B落在函數y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的圖象上，根據反比例函數的幾何意義，可得直角三角形的面積；根據題意又可知這兩個直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的兩條直角邊的比，再利用勾股定理，可得直角邊與斜邊的比，從而得出答案．點評考查反比例函數的幾何意義、相似三角形的性質，將面積比轉化為相似比，利用勾股定理可得直角邊與斜邊的比，求出sin∠ABO的值．
7. 分析直接利用銳角三角函數關係得出sinα，進而得出答案．點評此題主要考查了解直角三角形的應用，正確掌握銳角三角函數關係是解題關鍵．
8. 分析首先利用直徑所對的圓周角為得到是直角三角形，然後利用勾股定理求得邊的長，然後求得的正弦即可求得答案．點評本題考查了圓周角定理及解直角三角形的知識，解題的關鍵是能夠得到直角三角形並利用銳角三角函數求得一個銳角的正弦值，難度不大．
9. 分析過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的長，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的長，再利用正弦的定義可求出sinB的值．點評本題考查了解直角三角形以及勾股定理，通過解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的長是解題的關鍵．
10. 答案A解析解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，∴大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為5，根據正方形的面積公式可得大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為5，再根據直角三角形的邊角關系列式即可求解．本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理的證明，正方形的面積，難度適中．
11. 分析如圖，設直線x＝5交x軸於K．由題意KD＝CF＝5，推出點D的運動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，推出當直線AD與⊙K相切時，△ABE的面積最小，作EH⊥AB於H．求出EH，AH即可解決問題．點評本題考查解直角三角形，坐標與圖形的性質，直線與圓的位置關係，三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬於中考選擇題中的壓軸題．
12. 分析根據矩形的性質得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形求出即可．點評本題考查了矩形的性質和解直角三角形，能熟記矩形的性質是解此題的關鍵．
二、填空題
14. 分析： 根據圓周角定理可得∠AED=∠ABC，然後求出tan∠ABC的值即可．點評： 本題考查了圓周角定理和銳角三角形的定義，解答本題的關鍵是掌握同弧所對的圓周角相等．
15. 分析： 先由三角函數求出BD，再根據勾股定理求出AD，ABCD的面積=ADBD，即可得出結果．點評： 本題考查了平行四邊形的性質、三角函數、勾股定理以及平行四邊形面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質，並能進行推理計算是解決問題的關鍵．
16. 分析：先在圖中找出∠AOB所在的直角三角形，再根據三角函數的定義即可求出tan∠AOB的值．點評：本題考查了銳角三角函數的概念：在直角三角形中，正弦等於對邊比斜邊；餘弦等於鄰邊比斜邊；正切等於對邊比鄰邊．
17.分析：先根據等邊三角形的性質得AB=AC，∠BAC=60°，再根據旋轉的性質得AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，於是可判斷△ADE為等邊三角形，得到DE=AD=5；過E點作EH⊥CD於H，如圖，設DH=x，則CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，再計算出EH，然後根據正切的定義求解．點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角；旋轉前、後的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質和解直角三角形．
18.分析：如圖，作輔助線；求出BC的長度；運用射影定理求出BM的長度，藉助銳角三角函數的定義求出∠MBA的餘弦值，即可解決問題．點評：該題主要考查了圓周角定理及其推論、射影定理、銳角三角函數的定義等知識點及其應用問題；解題的方法是作輔助線，構造直角三角形；解題的關鍵是靈活運用圓周角定理及其推論、射影定理等知識點來分析、判斷、解答．
19. 考點銳角三角函數的定義；坐標與圖形性質．分析根據勾股定理，可得OA的長，根據正弦是對邊比斜邊，可得答案．
20. 分析根據特殊角的三角函數值、冪的乘方和負整數指數冪可以解答本題．
21. 分析先根據勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再由銳角三角函數的定義即可得出結論．
22. 分析先根據矩形的性質得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根據摺疊的性質得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出BF＝4，則CF＝BC﹣BF＝1，設CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，然後在Rt△ECF中根據勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，進一步得到EF的長，再根據正弦函數的定義即可求解．點評本題考查了摺疊的性質：摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質和勾股定理．
23. 分析首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關係求得∠BPE＝90°，證明A、P、F、D四點共圓，得∠AFD＝∠APD，可得結論．點評本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、四點共圓的性質、三角函數的定義，解決的關鍵是證明∠APF＝90°．
24. 分析根據切線長定理得出∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然後解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．點評本題考查了切線的性質，等邊三角形的性質，解直角三角形等，作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．
25. 分析連接PB，交CH於E，依據軸對稱的性質以及三角形內角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB＝90°，即可得到AP∥HE，進而得出∠BAP＝∠BHE，依據Rt△BCH中，tan∠BHC＝＝，即可得出tan∠HAP＝．點評本題考查的是翻折變換的性質和矩形的性質，掌握摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵．
26. 分析過A作AC⊥x軸，過B作BD⊥x軸於D，於是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根據反比例函數的性質得到S△BDO＝，S△AOC＝，根據相似三角形的性質得到＝（）2＝＝5，求得＝，根據三角函數的定義即可得到結論．點評此題考查了相似三角形的判定與性質、反比例函數的性質以及直角三角形的性質．解題時注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．
27. 分析由摺疊可得，，由摺疊的性質以及三角形外角性質，即可得到，進而得到．點評本題主要考查了摺疊問題，摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．
28. 分析在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根據旋轉性質可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，所以CD＝8．在Rt△CED中根據tan∠ECD＝計算結果．點評本題主要考查了旋轉的性質以及解直角三角形，難度較小，求出所求三角函數值的直角三角形的對應邊長度，根據線段比就可解決問題．
29. 分析給圖中各點標上字母，連接DE，利用等腰三角形的性質及三角形內角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°結合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，設等邊三角形的邊長為a，則AE＝2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的長，再結合餘弦的定義即可求出cos（α+β）的值．點評本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質以及規律型：圖形的變化類，構造出含一個銳角等於∠α+∠β的直角三角形是解題的關鍵．
30. 分析討論：若∠B＝90°，設AB＝x，則AC＝2x，利用勾股定理計算出BC＝x，然後根據餘弦的定義求cosC的值；若∠A＝90°，設AB＝x，則AC＝2x，利用勾股定理計算出BC＝x，然後根據餘弦的定義求cosC的值．點評本題考查了銳角三角函數的定義：熟練掌握銳角三角函數的定義，靈活運用它們進行幾何計算．
02閱讀說明
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03中考真題精選
04參考答案