矩形綜合中的直角三角形旋轉

2021-02-19 木木初中數學

題目：2014重慶真題A卷第26題

26．（12分）(2014年重慶市)已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=20/3，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關於AB的對稱點，連接AF、BF．

（1）求AE和BE的長；

（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）．當點F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出相應的m的值．

（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的△ABF為△A′BF′，在旋轉過程中，設A′F′所在的直線與直線AD交於點P，與直線BD交於點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時DQ的長；若不存在，請說明理由．


問（1）在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，BE=3，BD=25/3。這裡的直角三角形很多，且相似。邊長比是3：4：5.

問（2）

根據題意作圖，FG=12/5，當F在AB上時，計算BB1=3，即m=3;

當F在AD上時，注意通過計算B2D，用BD-B2D，求m。

B2G』=BG=9/5，B2D=3，m=25/3-3=16/3.

問（3）是幾何變換的綜合題，要善於抓住變量與不變量，計算時利用好等腰△的邊角性質。入手時一般可以從題目提供的圖（本例圖②）上手。將△ABF繞點B順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），則要弄清始末位置，在始末位置間的旋轉過程中要能理解，長直角邊A』F』可以成任意角度，這樣我們可以先去構造等腰三角形，再去補充圖形。同時，腦海中要有一個意識，點P在AD上，點Q在BD上，點D是定點。

解出第一種情況以後，再結合定點D，P、Q在直線AD和BD，以及F』A』可以任意角度的特點，先做出可能的等腰三角形草圖。

然後配合Rt△A』F』B的邊長、角度特徵、旋轉趨勢，做出如下圖，並解答

到這一步以後，再觀察一下圖形，細心的同學會發現，以∠PDQ為頂角的等腰三角形還有一種情況。

幾何變換壓軸題，涉及旋轉與平移變換、矩形、勾股定理、等腰三角形等知識點．第（3）問難度較大，從給定圖形著手，畫出各種情況是關鍵，要充分理解各種變量與不變量，分步嘗試畫圖，同時充分考慮形成等腰三角形的各種情況．

相關焦點

  • 矩形綜合中的直角與直角三角形斜邊中線
    題目：2013重慶真題A卷第24題24．如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF，BF，EF與對角線AC交於O點，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。（1）求證：OE=OF；（2）若BC=2根號3，求AB的長。
  • 一直角三角形繞另一直角三角形斜邊中點旋轉相似求線段長
    模型解讀此種題型特點：兩個全等直角三角形，其中一個直角三角形，繞另一個直角三角形斜邊中點旋轉，構成新的三角形，已知其中三角形相似，求線段長或者某線段長等於多少時，其中的三角形相似。解題關鍵點：①相似三角形的判定與性質；②旋轉的性質；③勾股定理；④等腰三角形的判定；⑤直角三角形斜邊上的中線性質等知識.
  • 幾何綜合變換:直角三角形旋轉
    題目：2013重慶真題A卷第26題26．（2013年重慶市A12分）已知，如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°。
  • 衝刺2018年中考,壓軸題重點講解:如何解相似三角形綜合題
    ①如圖1，請直接寫出AE與DF的數量關係　 　；②將△EBF繞點B逆時針旋轉到圖2所示的位置，連接AE，DF，猜想AE與DF的數量關係並說明理由；（3）如圖3，若四邊形ABCD為矩形，BC=mAB，其它條件都不變，將△EBF繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，連接AE'，DF'，請在圖3中畫出草圖，並直接寫出AE'與DF'的數量關係
  • 直角三角形與動態問題(2)——中考備考系列[尖子生之路]
    【試題3】【探索發現】如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=90°，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨後，他通過證明驗證了其正確性，並得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為　________．
  • 直角三角形的性質及其證明(含勾股定理)初二
    直角三角形也是初二所學的重要圖形之一，性質非常多，比等腰要多。今天就來匯總一下。
  • 直角三角形旋轉與坐標系構成的新幾何圖形
    題目：2019重慶真題A卷第26題26.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x^2-2x-3與x軸交與點A，B（點A在點B的左側）交y軸於點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交於點E．（1）連結BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD交拋物線於點N（點N在對稱軸的右側），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD於點F，點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求HF+FP+PC/3的最小值；（2）在（1）中，當MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時，把點P向上平移個（根號2）/2單位得到點Q，連結AQ
  • 中考數學專題複習:直角三角形
    【解後感悟】取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設DF=DN=x，則NF=x，再利用矩形的性質和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出
  • 直角三角形,考的不僅是勾股定理,關鍵在於應用
    同時，在實際生活工作中，解直角三角形的知識又廣泛應用於測量、工程技術和物理之中，因此，解直角三角形的應用題利於提高學生分析問題和解決問題的能力，培養空間想像的能力。中考數學對於解直角三角形的應用考查，主要是涉及仰角、俯角、方位角、坡度等重要知識點，今天我們選擇幾道典型中考試題進行分析和研究，希望能幫助大家學會分析此類題型，掌握相關的解題規律。
  • 奪分必看,聚焦解直角三角形創新問題
    【點評】本題主要考查了三角函數、運用待定係數法求拋物線的解析式、解一元二次方程等知識，出現角的度數（30°、45°或60°）或角的三角函數值，通常放到直角三角形中通過解直角三角形來解決問題．（答案不唯一）【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．
  • 直角三角形中的三角函數
    直角三角形中有兩個銳角，其中一個銳角α的對邊與斜邊的比值表示為sin(α)，鄰直角邊與斜邊的比值表示為cos(α)，對邊與鄰直角邊的比值為tan(α)圖中sin(α)=b/c，cos(α)=a/c，tan(α)=b/aα在0°到90°範圍內，當α增大時，sin(α)
  • 中考數學專題複習:第18講直角三角形
    類型三　勾股定理的應用【解後感悟】取AB的中點M，連接ME，在AD上截取ND=DF，設DF=DN=x，則NF=x，再利用矩形的性質和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長．
  • 如果連三角形都沒掌握好,幾何就不要想取得高分
    三角形有關的幾何綜合內容，典型例題分析1：某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造．測得兩直角邊長為6m、8m．現要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴建後的等腰三角形花圃的周長．
  • 新策略新感悟新考題,再認識中考熱點之直角三角形存在性問題
    因動點而產生的直角三角形問題，是函數與幾何綜合的熱點問題之一，經常出現在考卷的壓軸題位置。不少學生聽到函數二字，心理會抖上幾抖，聽到函數與幾何綜合幾個字，可能直接就產生了放棄的念頭。其實，這個問題，並不難。按著本文的思想，認真做一個題，兩個題，認清此類問題的本質，問題可解。下面，我們一起來看看具體處理方法。
  • 衝擊2018年中考數學,專題複習48:解直角三角形的應用
    題幹分析：（1）先利用平行線的性質得∠ACM=∠DAC=15°，再利用平角的定義計算出∠ACB=105°，然後根據三角形內角和計算∠ABC的度數；（2）作CH⊥AB於H，如圖，易得△ACH為等腰直角三角形，則可以得到AH、CH、AC三者之間的關係，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三邊的關係得到BH、CH、AB、AH幾者之間的關係，然後進行近似計算即可
  • 中考熱點聚焦,旋轉考察有特點,提升必備
    旋轉是運動變化中最複雜的類型：旋轉角度的不變，對應點到旋轉中心的距離不變是根本。而解題的思路不變是解決此類問題的抓手，一般是從全等到相似，然後到特殊位置。方法指導與旋轉有關的角度計算，一般聯繫旋轉的性質、三角形全等的性質、三角形的內角和以及三角形的外角的性質等，注意結合圖形信息，尋找已知角與未知角之間的關係，靈活運用三角形的邊與角之間的關係解題.
  • 2020初三數學複習:用不旋轉的思想挑戰圖形的旋轉,中考輕鬆拿分
    分析連接交於，由菱形的性質得出，由直角三角形的性質求出，由旋轉的性質得：得出，證出，由直角三角形的性質得出，可得出結果。點評本題考查了菱形的性質、旋轉的性質、含角的直角三角形的性質、平行線的性質等知識；熟練掌握旋轉的性質和菱形的性質是解題的關鍵．14.
  • 矩形的性質-中國教育新聞網
    二、創景激趣，點燃希望師：研究三角形問題，如果將邊特殊化，可以得到什麼三角形？生1：等腰三角形。生2：等邊三角形。師：如果將角特殊化呢？生（齊答）：直角三角形。生（部分）：等腰直角三角形。師：很好。類比三角形的學習，平行四邊形也可以將其邊、角特殊化。
  • 直角三角形理論應用
    一、歷年考情幾何類題型在國考和聯考數量關係中屬於必考題型，由於幾何的知識點比較多，考察的題型變化形式多樣，今天，我們就幾何中一個重要的知識點，直角三角形做具體的講解。二、直角三角形性質直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
  • 全等三角形判定之斜邊、直角邊定理,總結直角三角形的判定方法
    直角三角形是三角形中特殊的存在，有一個角是90°，其它兩個角互餘。初中階段，直角三角形的考點也是非常的多，例如勾股定理，直角三角形的全等證明。在全等三角形證明中，直角三角形由於其特殊性，有專屬於直角三角形的判定方法。