【試題3】
【探索發現】如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=90°，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨後，他通過證明驗證了其正確性，並得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 ________．
法二：如下圖示，
【拓展應用】如圖②，在△ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為 ．（用含a，h的代數式表示）
【圖文解析】
要求矩形PQMN面積的最大值，對本題來說，無法用尺規作圖法找出符合條件的點，因此可以通過建立函數的方法，轉化為求函數的「最值」問題，為此，可設矩形的一邊PQ＝x，將矩形PQMN的面積表示為 x的函數.如下圖示，
現只需求出PN，即可得到：用x表示矩形PQMN的面積.幾何中求線段PN的長，通過可以通過勾股定理、相似、三角函數等方法.本題因PN∥BC，很自然想到用相似的性質（對應高的比等於相似比）求出PN的長（用x表示）.如下圖示：
因此當PQ=h/2時，S矩形PQMN最大值為ah/4. 故答案為：ah/4.
【靈活應用】如圖③，有一塊「缺角矩形」ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積．
【圖文解析】
由於∠B是直角，從上述結論和圖形結構不難聯想到應補全直角三角形，如下圖示，
因此，要想從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），應是：（其中I、K分別是BF和BG的中點），由【探索發現】知矩形的最大面積應為△BFG面積的一半.
如下圖示，進一步得到：
不難證明:△AEF≌△HED(ASA)和△CDG≌△HDE,所以AF=DH=16,CG=HE=20.
由【探索發現】知矩形的最大面積為0.5BG•BF=0.5×(40+20)×(32+16)=720.
【實際應用】如圖④，現有一塊四邊形的木板餘料ABCD，經測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=4/3，木匠徐師傅從這塊餘料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積．
因BC＝108，由【拓展應用】的結論知，只需將EH求出，並說明BE和CD的中點Q、P在邊AB和CD上即可得解。
由tanB=tanC=4/3可知，∠B=∠C，
進一步得到：EB=EC＝0.5BC=54cm，如下圖示.
有Rt△EBH中，由tanB=EH/BH=4/3得，EH=4/3BH=72cm.通過勾股定理，不難得到BE＝90cm，CE＝120，
同時，
所以中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上（存在性）.
因此，由【拓展應用】知，矩形PQMN的最大面積為1/4•BC•EH=1944cm2.
【反思】這是兩道課本例習題的巧妙變式和拓廣，試題難度並不大，但從題意到解法、應用都恰到好處，真正體現出「數學從生活來，又回到生活中去」，真真是一道非常難得的好題。
【試題3】在平面直角坐標系中，藉助直角三角板可以找到一元二次方程的實數根．比如對於方程x2﹣5x+2=0，操作步驟是：
第一步：根據方程的係數特徵，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐標平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恆過點A，另一條直角邊恆過點B；
第三步：在移動過程中，當三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C的橫坐標m即為該方程的一個實數根（如圖1）；
第四步：調整三角板直角頂點的位置，當它落在x軸上另一點D處時，點D的橫坐標n即為該方程的另一個實數根．
（1）在圖2中，按照「第四步」的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）；
（2）結合圖1，請證明「第三步」操作得到的m就是方程x2﹣5x+2=0的一個實數根；
（3）上述操作的關鍵是確定兩個固定點的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的實數根，請你直接寫出一對固定點的坐標；
（4）實際上，（3）中的固定點有無數對，一般地，當m1，n1，m2，n2與a，b，c之間滿足怎樣的關係時，點P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一對固定點？
圖文解析：
（1）簡析：根據「第四步」的操作方法作出點D即可.如圖所示，點D即為所求.
（2）如下圖示，
不難得到∠CAO＝∠BCD，由三角函數的定義知：tan∠CAO=OC/OA＝BD/CD=tan∠BCD，進而得出m:1=2:(5-m)，即m2﹣5m+2=0.所以m是方程x2﹣5x+2=0的實數根.
（3）結合上述方程「x2﹣5x+2=0」的結構特點和(2)中的證明(m:1=2:(5-m))，可知：二次項的係數(A點的縱坐標)與常數項的積為B點的縱坐標，B點的橫坐標為一次項係數與二次函數的商的相反數，對比方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為x2+(b/a)x+c/a=0，模仿研究小組作法可猜想，得：A（0，1），B（﹣b/a，c/a）或A（0，1/a），B(﹣b/a，c)等.
（4）設P（m1，n1），Q（m2，n2），如圖示，
x2﹣（m1+m2）x+m1m2+n1n2=0，
又∵ax2+bx+c=0，即x2+(b/a)x+c/a=0，
∴比較係數可得：
m1+m2=﹣b/a，m1m2+n1n2= c/a．
同樣對x2(若存在)的解法也類似(略去).
所以，當m1，n1，m2，n2與a，b，c之間滿足「m1+m2=﹣b/a，m1m2+n1n2=c/a」的關係時，點P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一對固定點.
反思：解題關鍵是：過數結合圖形，一元二次方程的解，銳角三角形的定義的綜合應用.
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