初中數學:旋轉三角形的解題技巧,求△PMN面積的最大值

2021-01-10 初中數學解題視頻

來看這個題，旋轉三角形中伴隨最值問題。

如圖，Rt△BAC和Rt△DAE中，AB=AC=10，AD=AE=4，連接DC，點M、P、N分別是DE，DC，BC的中點。△DAE繞點A旋轉，求△PMN面積的最大值。

（視頻講解在文末）

分析：△BAC和△DAE都是等腰直角三角形，又有三個中點M、P、N，直接能夠聯想到中位線的性質，據此我們就可以先判斷出紅色三角形PMN的形狀。

假設藍色三角形DAE旋轉任意一個角度，我們作兩條輔助線，連接BD、EC

根據三角形中位線的性質可以得出：

MP平行且等於1/2EC

NP平行且等於1/2BD

因為AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，因此△BAD≌△CAE，BD=EC。

所以，MP=NP

又因為△BAD旋轉90°與△CAE重合，AB⊥AC，AD⊥AE。

所以BD⊥EC，MP⊥NP

到這裡，我們就可以得出三角形PMN是等腰直角三角形。

三角形PMN的面積=MN÷4

只需要求出線段MN的最大值，即可得到三角形PMN面積的最大值。

什麼時候MN最大呢？

當ED∥BC，∠BAD=180°時，MN取得最大值。

此時，MN=MA+AN=7√2

三角形PMN的面積最大值=(7√2)÷4=24.5

本題視頻講解：初中數學：旋轉三角形，求△PMN面積的最大值

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