「子母三角形」=直角三角形+斜邊的高。它是初中數學中一類非常重要的基本圖形，圖形中出現三個直角三角形，它們都是相似的，線段之間數量關係豐富，即所謂的「垂徑定理」。本文中，我改編一道「子母三角形」的好題，分享給大家。
如圖：如圖：直角三角形△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB, AB=8。(1).求△ABC面積的最大值。(2).求AC-AD的最大值。
先看第（1）問，以AB=8為底，CD為高，顯然當CD最大時，△ABC面積的最大。那麼CD在什麼位置取最大值呢？最大值為多少呢？且看我給出兩種方法分析：
方法1：作「隱圓」秒殺！顯然直角三角形△ABC在一個「隱圓」上，這個圓的圓心在AB的中點處，直徑為AB.顯然圓是「定圓」，C是圓上的「動點」，非常容易感知當D在圓心處時候，CD最大，此時CD等於半徑4。口算此時△ABC面積是1/2×8×4=16. 如圖：
方法2：根據「直角三角形斜邊中線，等於斜邊一半」，我們可以取AB中點M，連接CM，CM=4,則直角三角形△CMD中，CM是「斜邊」，CD是「直角邊」，根據動點極限思想CD≤CM。顯然CD的最大值就是4，。口算此時△ABC面積是1/2×8×4=16. 如圖：
再看第(2)問，圖中三個直角三角形，它們都是相似的，線段之間數量關係滿足垂徑定理：AC^2=AD×AB,即AC^2=8AD.顯然AC和AD滿足二次函數關係，AC-AD=AC-1/8AC^2,是「開口向下」的「二次函數」求最值問題，通過配方法或頂點公式可以快速求解「二次函數」的最值。如圖：
「子母三角形」模型中包含的都是常見而基本的幾何要素，諸如：直角三角形+相似+隱圓+垂徑定理+斜邊中線等於斜邊一半。模型常見，性質豐富，大家好好體會。
本文主要從最值的角度，適當「動態化」來審視這個模型，題目簡潔，解法清爽，意蘊無窮，請大家收藏筆記下來，及時複習。幾何的奧妙就在於「簡約而不簡單」，美在圖中，妙在巧解處，我想這就是數學的魅力！
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