初中數學必刷好題018一文學透 圓 內接等邊三角形重要模型和結論

2020-11-26 陪你學數學

本文第一部分將先介紹圓內接等邊三角形的基本模型和結論，第二部分將通過題目展示基本模型和結論的妙用，利用模型和結論把難題分解成簡單題。

一.圓與等邊三角形基本模型和結論：

圓內接等邊三角形基本結論

結論：三角形ABC內接於圓O,D是弧BC上一點，連DA,DB,DC，則必有DA=DB+DC

變式1：

圓內接等邊三角形變式

如上圖，其實已經隱含了等邊三角形，補全等邊三角形，就可以得到想要的模型和結論。

連接AB,AC,BC，其實四邊形ABDC也是一個對角互補+角平分線模型。

拓展模型1：

如圖a：若△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，則作NA⊥AM。易得△BAN△CAM,△AMN是等腰直角三角形。所以：MB=MC+√(A)MA

拓展模型2：

如圖b：若△ABC為等腰三角形，∠BAC=120°，則作∠MAN=120°。易得△BMA△CNA,△AMN等腰.所以：MC=MB+√(3)MA

例1：如圖，等邊三角形ABC內接於圓O,E是劣弧BC的中點，∠BDE=30°.若D=8,BD=5,求DE的長。

第一步：根據基本結論：CD=AD-BD=8-5=3

第二步：根據拓展模型2，易知：DE:EH:HD=1:1:√(3),∴DE=2/√(3)=(2√(3)/3)

例2：如圖，在圓M中，弦AB與CD垂直，OM=1,OA=√(3).E是劣弧AD的中點，P在劣弧AC上運動，求(PE+PC/PD+PB).

關鍵：識別/構造圓內接等邊三角形

解：如圖a，由OM=1,OA=√(3),可知△AMC是等邊△。∴∠ACD=60°

∵E是弧AD中點 ∴∠ACE=∠DCE=∠DPE=30°

∴易得∠CPE=120°

作∠CPE的角平分線交圓M於點E',連CE,EE',CE',

則三角形CEE'即為等邊三角形。（詳見前文變式1）

∴PE'=PC+PE

作E'H⊥PD,E'K⊥PB。易證△E'HD△E'BK,

△PE'K△PE'H ∴PB+PD=2PH

∵∠EPE'=60°,∠EPD=30° ∴∠HPE'=30°

∴PH=(√(3)/2)PE',PB+PD=√(3)PE'，∴(PE+PC/PD+PB)=(√(3)/3)。

前文連結：

初中數學必刷好題016 一文學透圓中垂直弦的重要模型和結論

初中數學必做好題013 一題學透圓中內接三角形與外角平分線模型

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