加權線段和之阿氏圓模型

2021-02-28 攬月數學

如圖，正方形ABCD中，AB=2，E是BC的中點，CD上有一動點M，連接EM，BM，將△BEM沿著BM翻折得到△BFM，連接DF，CF，則DF+1/2FC的最小值為                      

本題的關鍵將1/2FC進行轉化為FG，利用三點共線求出最值，但是問題來了，為什麼這樣做輔助線？又是如何想到在線段BE取中點呢?問題得從阿波羅尼斯圓（阿氏圓）說起，拖動M點時，發現點F的運動軌跡是圓，這個圓就叫做阿氏圓。

   阿氏圓的定義：已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等於1的點P的軌跡是一個以定比m：n內分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓。這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿氏圓。 

由阿氏圓定義可知，

此時就明白為什麼在BE上取中點G。

當D，F，G三點共線時，則DF+1/2FC=DF+FG的最小值為5/2

   在遇到DF+λFC類型問題時都可以總結一類加權線段和，加權線段和通常包含阿氏圓模型和胡不歸模型，而本題通過阿氏圓模型，轉化其中一條線段，利用三點共線，解決問題。

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