三角形面積秒殺法

2021-02-10 高考數學左老師

每日一題曾經發過這樣一道題：

暱稱為「高中數學學術交流」的朋友留言到：

這個題用向量分解法， 知道面積是三角形的2倍，然後用這三個點的三階行列式馬上出答案， 8秒鐘！

這個讀者朋友是同行，所提的解法非常好.

讀者朋友們可能對這個解法有興趣，我索性展開講一講.

P點的運動區域在哪裡？

根據向量AP滿足的等式，以及兩個參數入、μ的範圍，畫出P點的運動區域如下圖.

從上圖能夠看出，P點的運動區域是一個平行四邊形，而且這個平行四邊形的面積是三角形ABC面積的2倍.

已知三點坐標，如何秒解三角形的面積？


方法1：用兩點間距離公式求三邊AB，BC，CA的長度；再利用餘弦定理的推理求某個內角的餘弦值，比如求cosA，然後利用同角三角函數關係，求sinA；再利用面積公式S=1/2bcsinA求解.

方法2：用兩點間距離公式求一邊長，比如BC；再寫出直線BC的方程；再利用點到直接的距離公式，求出點A到直線BC的距離d；再利用面積公式S=1/2BC*d求解.

方法3：用兩點間距離公式求三邊AB，BC，CA的長度，再求出半周長p，然後代入海倫公式S=根號下p*(p-a)*(p-b)(p-c)求解.

上面讀者朋友介紹的「三階行列式」就不講了，新概念吸收需要時間.

直接給出簡單粗暴的公式：

不解釋，有興趣的童鞋可以自己推導.

本題直接用一下.

好多童鞋喜歡秒解、秒殺，老左也會.

人民藝術家馮小剛馮導講：人民群眾喜聞樂見的，就是我們樂意奉送的.老左也不定期給大家放送一些所謂秒殺術，雖然數學內功更重要.

溫馨提示：要獲取微信公眾號「高考數學左老師」的精華內容，可以回復「關鍵詞」，你會獲得一份關鍵詞列表.根據這份列表，回復對應的關鍵詞，就可獲得內容.

推薦閱讀：圓錐曲線之定點問題

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