大氣壓強新公式的推導

2021-01-09 布衣的烏託邦

上一章介紹了可用p=ρRT/M和P = 1/2n^2ρυ^2這兩個公式來計算大氣壓強，本文要看看這兩個公式有什麼樣的關係，探索它們之間的推導過程。

由於p = ρRT/M這個公式是已知的，所以我們就研究如何用它推導出P =1/2n^2ρυ^2這個壓強公式的。空氣分子平均運動速度υ= [8RT/(π*M)]^(0.5)，因此我們要把P = ρRT/M變形，出現[8RT/(π*M)]^(0.5)這個式子就可以了。

P = ρRT/M

=（π/8）×（8/π）×ρRT/M

=（π/8）ρ×[（8/π）×RT/M]

=（π/8）ρ×8RT/πM

=（π/8）ρ×[ (8RT/πM) ^0.5] ^ 2

= 1/2（π/4）ρ×[ (8RT/πM) ^0.5] ^2

因為空氣分子平均速率：υ= [8RT/(π*M)]^(0.5)

所以：P = 1/2（π/4）ρ×[ (8RT/πM) ^0.5] ^2

= 1/2（π/4）ρ×[υ] ^ 2

既：P = 1/2（π/4）ρυ^2 （1）

變形：P = 1/2（π/4）ρυ^2

= 1/2 [ (π/4) ^ 0.5] ^2 ρυ^2

既：P = 1/2 [ (π/4) ^0.5] ^2 ρυ^2

設：n=(π/4) ^0.5

所以：P = 1/2n^2ρυ^2 （2）

還可再變形感受速度與壓強的關係

P = 1/2 n^2ρυ^2

= 1/2ρ（n^2υ^2）

= 1/2ρ（nυ）^2

既：P = 1/2ρ（nυ）^2 （3）

式子中n=(π/4) ^ 0.5，影響n的精度的主要是π的取值大小，一般取3.14。空氣分子平均速率不再取υ= 1.6[(R×T)÷M]^(0.5) 這個式子了，而是更準確的υ= [8RT/(π*M)]^(0.5)。

前幾篇文章是根據現象推導出（3）式和（2）式，得出n的值大約是0.8841，本篇文章是根據已有的大氣壓強公式P = ρRT/M推導出來的（1）式，得出n的值大約是0.8862，可以認為n=(π/4) ^0.5是比較準確，但在實際飛行環境中可能還要修正。

如果把υ= [8RT/(π*M)]^(0.5)代入（1）式，得

P = 1/2（π/4）ρ [ (8RT/πM) ^ 0.5] ^2 （4）

從（4）式就可以看出，壓強主要和空氣密度ρ和空氣熱力學溫度T有關，那麼我們就可 以另一種方式理解飛機的飛行。當有迎角的機翼前進時，機翼下表面對空氣進行壓縮，空氣密度ρ和空氣熱力學溫度T可能都升高，空氣壓強P自然增大。機翼上表面的空氣舒張，空氣密度ρ和空氣熱力學溫度T可能都下降，空氣壓強P自然減小，這就形成了機翼上下表面的壓強差，產生了向上的升力。

由於本節修正了n的計算方法，n=(π/4) ^0.5，是一個計算公式，所以升力公式

F升力 = 1/2 [K（4 n ^2υ0/sinθυ+1）cosθsin^2θ]ρSυ^2

修正為：

F升力 = 1/2 [K（πυ0/sinθυ+1）cosθsin^2θ]ρSυ^2

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