來源：期貨日報
5年期和10年期國債期貨合約的跨品種套利，是國債期貨市場上較為常見的操作方式。傳統理論認為，5年期和10年期國債收益率具有一致性，存在著較為穩定的利差中樞。當利差明顯高於（低於）利差中樞時，收益率曲線過於陡峭（平緩），此時10年期國債價值相對5年期國債被低估（高估）。由於預期過於陡峭（平緩），收益率曲線會出現自我修復，從而帶動利差中樞修復。
然而，在實際操作中，經常會面臨利差突破軌道後繼續上漲（下跌）並沒有回歸的情況。其原因在於：一方面，利差中樞需要一段時間跨度的歷史數據來計算，時間跨度的選取具有經驗性和隨機性；另一方面，均值回歸理論基於市場有效性和投資者風險偏好假設，而利差影響因素包括宏觀基本面信息，傳統理論並不總是適用。
Nelson-Siegel模型
20世紀80年代，Nelson和Siegel提出了一個用參數表示的瞬時遠期利率的函數，該模型將利率期限結構分解為水平、斜率和曲率三個部分，分別可以解釋實際中的遠期利率市場預期、債券的風險溢價以及凸性偏離。相比傳統的多項式和指數樣條法，該模型更具有可解釋性，符合市場預期理論，並且只使用三個β參數，具有更高的靈活度來擬合不同類型的收益率曲線：
其中，β0的係數為1，是一個常數，可以理解為一個水平因子。β1從1變為0，代表曲線的斜率，β2先增後減，代表曲度。在國內外的研究中，主成分分析法作為數據降維和避免多重共線性的常用工具，可以通過線性組合構建一個如（1）所示的三因子公式模型。
本文主要從三個方面對現有方法進行改進：第一，單獨採用主成分分析對利差曲線擬合效果較差，僅能表示大致變化趨勢，不能滿足實際套利需要的預測精度。對因變量利差的邊界進行區間處理，使用二分類Logistc回歸模型進行擬合，加強了擬合程度和樣本外泛化能力。第二，拓展待定因子選取範圍，加入更多具有經濟學解釋意義的因子，利用相關係數進行初步篩選。第三，為了使整個模型更具有可解釋性，運用最大化方差法旋轉因子，使Nelson-Siegel模型內三個預測變量的整體貢獻方差達到最大。
主成分分析
本文選取10年期和5年期國債利差、國債指數歷史波動率、國債指數動量（歷史漲跌幅）和流動性（成交量）、匯率、Shibor等指標，篩選後得到共計12個解釋變量，通過歸一化和去極值後加入到模型中。
為了實現數據降維，同時最大程度減少原始數據信息的丟失，筆者引入主成分分析法，基本思路是，從p個相關的解釋變量中提起出k個不相關的主成分，每一個主成分都是原始變量的線性擬合，第一個主成分最大程度解釋了原始變量數據的方差，具有最大的特徵值。第二個主成分與第一個主成分之間不存在線性關係，它最大程度解釋了剩餘方差，以此類推。因此，參照公式（1）中的三個解釋變量，從原始數據中提取出前三個主成分，分別可以解釋樣本94%、5%和1%的方差。
最大方差法
通過主成分分析提取的三個主要成分，均由原始數據的因子線性組合而成，這樣的向量稱為載荷矩陣。多數情況下，估計出的因子載荷在各個因子上並不突出，在一定程度上影響了模型解釋度。由於因子載荷矩陣並不唯一，可以通過旋轉的方式突出因子的特徵，使各個因子載荷之間的距離儘量拉大，即方差最大化。理論上，因子旋轉後，每個主成分都包含了一些較大和較小的因子載荷，通過觀察較大載荷的因子，便於解釋其主成分所代表的原始信息。
Logistic回歸
跨品種套利聚焦利差的相對變化位置，而不是連續的利差預測曲線，離散型變量相對於連續型變量在模型預測方面提供了更靈活的空間，輸出結果與套利的方向操作有較大的兼容性。因此，下面對因變量10年期和5年期利差做二分類處理，擴大記為1，縮小記為0。
Logistic回歸不同於線性回歸，它不要求模型變量間具有線性的相關關係，不要求服從協方差矩陣相等和殘差項服從正態分布等，使得模型較為簡潔高效。通常來講，Logistic回歸基於極大似然估計方法，逐步選擇重要的解釋變量，無法避免多重共線性和對原始數據依附性的問題。由於在該案例中，原始數據已經由上述步驟所得的三個獨立的主成分代替，已經規避了類似問題，如以下公式所示：
筆者利用統計檢驗的方法，分別比較了單獨採用Logistic回歸、主成分分析+Logistic、主成分分析+因子旋轉+Logistic在樣本內和樣本外的表現。
實證研究顯示，在擬合程度和樣本外泛化能力兩個方面，後兩個模型均優於僅使用Logistic回歸的模型，結合因子旋轉的主成分Logistic模型，在樣本外預測準確率上略好於沒有採用因子旋轉的模型，同時考慮到因子旋轉後具有更強的實際解釋意義，所以主成分分析+因子旋轉+Logistic回歸整體表現更好。
表為檢驗方法統計
在經濟數據普遍具有高維和內在相關性的背景下，上述三個方法的結合使用在儘可能減少原始數據信息丟失的前提下，構建了具有獨立簡約含義和可操作性的利率模型。將模型產生的預測信號運用於10年期和5年期的跨品種套利，歷史回測顯示獲得了較好的收益表現。