原標題：主成分分析法在黃金期貨量化策略中的應用
摘要
【吳廣奇：主成分分析法在黃金期貨量化策略中的應用】我們在研究某些問題時，需要處理帶有很多變量的數據。變量和數據雖然很多，但可能存在噪音和冗餘。然而，主成分分析法可以用少數變量來代表所有的變量，用來解釋研究者所要研究的問題，化繁為簡，抓住關鍵，也就是降維思想。（期貨日報）
我們在研究某些問題時，需要處理帶有很多變量的數據。變量和數據雖然很多，但可能存在噪音和冗餘。然而，主成分分析法可以用少數變量來代表所有的變量，用來解釋研究者所要研究的問題，化繁為簡，抓住關鍵，也就是降維思想。本文以黃金期貨為例，通過對其基本面數據進行分析，提取了對黃金影響較大的10個基本面變量，使用主成分分析法對數據進行降維處理，並使用降維後的新變量構建黃金期貨的量化擇時策略。
主成分分析法的核心思想
我們在研究某些問題時，需要處理帶有很多變量的數據。比如，研究房價的影響因素，需要考慮的變量有物價水平、土地價格、利率、就業率等。變量和數據很多，但可能存在噪音和冗餘，因為這些變量中有些是相關的，那麼就可以從相關的變量中選擇一個，或者將幾個變量綜合為一個變量，作為代表。用少數變量來代表所有的變量，用來解釋所要研究的問題，就能化繁為簡，抓住關鍵，這也就是降維的思想。
主成分分析法(Principal Component Analysis，PCA)就是一種運用線性代數的知識來進行數據降維的方法。它將多個變量轉換出少數幾個不相關的變量來，但轉換後的變量能比較全面地反映整個數據集。這是因為數據集中的原始變量之間存在一定的相關關係，可用較少的綜合變量來表達各原始變量之間的信息。
具體來看，在數學變換中保持變量的總方差不變，使第一變量具有最大的方差，稱為第一主成分，第二變量的方差次大且和第一變量不相關，稱為第二主成分。依次類推，i個變量就有i個主成分。其中，Li為p維正交化向量(Li×Li=1)，Zi之間互不相關且按方差由大到小排列，則稱Zi為X的第i個主成分。設X的協方差矩陣為Σ，則Σ必為半正定對稱矩陣，求特徵值λi(按從大到小排序)及其特徵向量。可以證明，λi所對應的正交化特徵向量，即為第i個主成分Zi所對應的係數向量Li，而Zi的方差貢獻率定義為λi/Σλj，通常要求提取的主成分的數量K滿足Σλk/Σλj>0.85。
圖為相關變量線性轉換
主成分分析法的核心思想是降維，而降維的基礎是變量之間的相關性。主成分分析法不要求所有變量都相關，但部分變量之間的相關性比較大才能滿足降維的條件，否則強制對不相關的變量進行降維，主成分分析法就失去了實際意義。因此，對於價格內在影響因素相關度較強的期貨品種，用主成分分析法進行分析研究是比較合適的，而對於影響因素相關度較弱的期貨品種不適合。
那麼主成分分析法是如何降維的呢？我們從坐標變換的角度來獲得一個感性的認識。
圖為主成分分析法降維正態分布
在短軸上，觀測點數據的變化比較小，如果把這些點垂直地投影到短軸上，那麼有很多點的投影會重合，這相當於很多數據點的信息沒有被充分利用到。而在長軸上，觀測點的數據變化比較大。因此，如果坐標軸和橢圓的長短軸平行，那麼代表長軸的變量直接可以從數據集的原始變量中找到，它描述了數據的主要變化。而另一個原始變量就代表短軸的變量，描述的是數據的次要變化。
在極端情況下，短軸退化成一個點，那麼就只能用長軸的變量來解釋數據點的所有變化，就可以把二維數據降至一維。不過，坐標軸通常並不和橢圓的長短軸平行，就像上圖所展示的那樣。因此，需要構建新的坐標系，使得新坐標系的坐標軸與橢圓的長短軸重合或平行。這需要用到坐標變換，把觀測點在原坐標軸的坐標轉換到新坐標系下，同時也把原始變量轉換為長軸的變量和短軸的變量，這種轉換是通過對原始變量進行線性組合的方式而完成的。
舉例來說，一個觀測點在原X—Y坐標系中的坐標為(4,5)，坐標基為(1,0)和(0,1)，如果長軸為斜率是1的線，短軸為斜率是-1的線，新坐標系以長軸和短軸作為坐標軸，那麼新坐標基可以取為
和
。我們把兩個坐標基按行放置，作為變換矩陣，乘以原坐標，即對原坐標進行線性組合，可以得到該點在新坐標系下的坐標
。可以看到，變換後長軸變量的值遠大於短軸變量的值。
如果長軸變量解釋了數據集中的大部分變化，那麼就可以用長軸變量來代表原來的兩個變量，從而把二維數據降至一維。橢圓的長軸和短軸的長度相差越大，這種做法的效果也就越好。本文以黃金期貨為例，使用主成分分析法，對影響黃金期貨價格的基本面變量數據進行降維，構建其量化交易策略。
影響黃金價格的主要因素
黃金作為一種特殊的大宗商品，具有商品、貨幣和投資避險的多重屬性。本文從黃金的供需、經濟數據、金融資產三個維度中，選一些基本面因子對黃金價格的影響進行分析。
首先來看黃金的供需。作為一個大宗商品，黃金的上遊供給量受到金礦開採以及廢金回收的影響，而主要的下遊需求可分為製造業需求(珠寶首飾、工業材料等)和金融投資需求。此外，像央行這樣的大型市場參與者的售金、買金行為也會影響市場供需格局。
其次來看經濟數據。黃金作為金融投資品，受到所處時期經濟周期的影響，比如，經濟滯漲時期，黃金的表現通常較好，投資者也更願意將資金配置在黃金上。經濟數據除了描繪當前的經濟圖景外，也會影響各國央行的貨幣政策。而以美聯儲為代表的大國央行的貨幣政策，也對同時期黃金價格走勢產生比較大的影響。
最後來看金融資產。一方面，一些金融資產的變化可以直接影響黃金價格和投資者偏好。比如，在利率較低的時期，黃金的持有成本相對較低，配置價值也相對較高。外匯的波動會直接影響以該貨幣計價的黃金價格等。另一方面，一些金融資產和黃金受到相同影響因素的影響，價格波動有著較高的相關度，並且能夠更好更快地反映當時市場的經濟和金融氛圍。
根據以上分析，筆者選取了10個與黃金相關度較高的基本面指標進行分析回測，分別是美國10年期國債收益率、美國10年期國債實際收益率、美元指數、VIX恐慌指數、美國失業率、美國新增非農就業人數、美國CPI、美國PPI、美國ISM製造業PMI、各國央行和其他機構黃金需求。
數據處理
數據預處理
商品期貨的基本面數據具有種類多、時間離散、公布時間不規律等特點，需要對其進行預處理，預處理的主要目的是將其轉化為可以對比分析的數據。對其進行數據公布頻率的分類，並將其在時間上進行對齊處理。在數據處理時，要注意美國數據的公布時間和國內數據公布時間的時區差異，以及月度和季度數據公布的滯後性。
Z—Score模型
由於基本面數據量綱不統一，需要將其處理成無量綱且可對比的數據。在基本面分析中，一般採用Z-Score的方法對基本面數據進行處理。Z-score模型是以多變量的統計方法為基礎，以破產企業為樣本，通過大量的實驗，對企業的運行狀況、破產與否進行分析、判別的系統。具體處理方法為，將原始數據減去一段時間的均值再除以這段時間數據的標準差。Z-Score數據能夠真實地反映一個分數距離平均數的相對標準距離，能確實反映原始數據的波動率信息。
舉例來說，假設我們要比較A與B的考試成績，A的考卷滿分是100分(及格60分)，B的考卷滿分是700分(及格420分)。很顯然，A考出的70分與B考出的70分代表著完全不同的意義，但從數值來講，A與B在數據表中都是用數字70代表各自的成績。那麼如何能夠用一個同等的標準來比較A與B的成績呢？Z-Score就可以解決這一問題。
量化回測
變量選取
首先要確定降維後的變量個數，其次通過對其波動變量方差佔比進行分析，最後選出對變量集合波動貢獻較大的變量。
圖為變量波動方差貢獻分布
從波動的貢獻來看，波動率貢獻最大的前四個變量對數據整體波動率貢獻分別為25.24%、16.74%、12.85%和11.76%，均大於10%。考慮到後面兩個影響較少和儘量精簡模型輸入，選取最為重要的兩個變量。確定好最終的變量個數後，用主成分分析法對數據進行降維處理，降維後得到兩個新的數據序列。
變量分析
為方便識別，降維後的變量序列稱為principalcomponent1和principalcomponent2。對原始基本面數據變量進行編碼：fx為美國10年期國債收益率；realfx為美國10年期國債實際收益率；dollarindex為美元指數；vixindex為VIX恐慌指數；lossjob為美國失業率；offfarm為美國新增非農就業人數；uscpi為美國CPI環比；usppi為美國PPI環比；uspmi為美國ISM製造業PMI；balancedata為各國央行和其他機構黃金需求量。
圖為原始變量和降維後變量關係(絕對值)
從上圖可以看出，和降維後數據關係較為密切的變量為美國10年期國債收益率、美國10年期國債實際收益率、美國CPI環比和PPI環比等數據，這說明在這10個基本面的變量中，單個變量對其他的變量影響較大的為以上四個變量。在實際分析中，美國10年期國債收益率、美國10年期國債實際收益具有較高的相關性，CPI和PPI長期走勢趨於統一。因此，對基本面影響較大的兩個變量可以概括為美國10年期國債收益率和CPI。部分數據，如各國央行和其他機構黃金需求量公布頻率較低，經過數據處理後，整體波動不大，弱化了它對其他變量的影響。美元指數和VIX指數儘管公布頻率較高，但整體對基本面數據影響較小。
數據回測
對降維後的兩個變量進行處理，構建與黃金價格的關係，其較為直接的想法是對兩個變量進行賦權，構建成一個包含兩個變量的線形變量。
綜合變量被設計成一個與黃金期貨價格正相關的變量。從原始變量和降維後變量關係圖中可以看出，principalcomponent1與美國10年期國債收益率相關度較高，由此可以判斷它與黃金價格為負相關關係；principalcomponent2與美國CPI、PPI相關度較高，由此可以判斷它與黃金價格為正相關關係。不過，在構建變量時，不能簡單地做權重分布，還要考慮方向問題。
圖為降維後的變量走勢
由於前期做了數據的Z-Score處理，數據本身具有均值回復的特徵，類似布林帶指標，設定一個閾值，當綜合指標低於閾值的反數時，做多黃金期貨；在綜合指標高於閾值時，做空黃金期貨。為充分反映趨勢，當做多時，綜合指標高於閾值時平倉；當做空時，綜合指標低於閾值的反數時平倉，平倉和開倉不同時進行，不做止損和止盈。
數據回測中，採用黃金期貨指數，資金不加槓桿，策略的開平倉費率設為0.02%，數據結果僅供投資者參考。用年化波動率對收益淨值進行倉位控制，控制目標為年化波動率為10%，其收益走勢如下：
圖為收益淨值和倉位控制後淨值
該量化策略近10年時間共交易58次，做多38次，做空20次，持有時間波動較大，最近一次交易為2019年6月10日收盤做多，多單持有至今。策略不經倉位控制的年化收益為8.22%，最大回撤為23.20%；經倉位控制後年化收益為7.15%，最大回撤為10.36%。
總結
本文對黃金期貨的基本面數據進行分析，提取了對黃金影響較大的10個基本面變量，使用主成分分析法對數據進行降維處理，並使用降維後的新變量構建黃金期貨的量化擇時策略。
通過數據回測，筆者發現，基本面數據對黃金的量化擇時(利用數量化的方法，通過對各種宏觀、微觀指標的量化分析，試圖找到影響大盤走勢的關鍵信息)起到一定效果，在不加槓桿的情況下，總體年化收益在7%以上。在數據降維後，研究發現，黃金基本面數據較為核心的影響因素為美國10年期國債收益率和CPI，美元指數和VIX指數對基本面數據的整體影響則較弱。
（文章來源：期貨日報）
(責任編輯：DF524)