猜一猜：誰是數學世界的原子？它有出人意料的美

無論是在日常應用中，還是作為數學各個分支的子主題，素數的重要性如何強調都不為過。由於素數其內在結構中不可約的性質，我們往往在不知不覺中依賴其作為社會中無數問題的支撐。素數無法進一步做因子分解，因而其常常被稱為數學世界的原子。如卡爾·薩根（Carl Sagan）曾優雅地描述過：

素數作為所有數字最基本組成部分，其重要性在於它本身是我們了解宇宙的基礎。

在自然界和我們的生活中，素數的使用無處不在。蟬用它們來安排自己的生命周期，鐘錶匠用它們來計算時刻，而航空引擎用它們來平衡空氣脈衝的頻率。當然，和每個密碼學家所了解的下述事實相比，上面的這些例子都顯得蒼白無力。即素數是現代計算安全性的核心，這意味著素數直接負責保護幾乎所有的事物。你上網衝浪時注意到網絡地址欄那把鎖沒有？是的，那就是基於素數加密的雙鍵握手(Two-key handshake)。你使用信用卡支付的時候如何得到保護呢？不出意外，這也是基於素數加密的。

然而，雖然我們一貫依賴於素數的獨特性質，但是素數仍然讓人琢磨不透。在整個數學歷史上，最偉大的頭腦們都試圖證明一個定理，用於判定哪些數是素數，或者相鄰素數之間的距離。實際上，諸如孿生素數猜想，哥德巴赫猜想，回文素數和黎曼假設等少數長期懸而未決的問題都涉及如下事實，即素數趨近無窮時具有普遍的不可預測性和不確定性。

誠然，早在歐幾裡德的時代，我們已經找到了一些可以判斷某些數字是否為素數的算法，但是一直缺乏一般性的結論，而且也缺乏工具來測試大的數字是否為素數。如今，21世紀的技術提升已經能允許研究人員測試相當大的數值，但是僅依賴於這種方法仍然存在爭議，因為用計算機進行暴力測試作為可靠的證明尚未被廣泛接受。換句話說，素數依然不滿足任何通項公式或方程式，它們在自然數列中的出現保持著看似隨機的狀態。

然而事實表明，一個簡單的塗鴉證明素數至少不是完全隨機的…...

塗鴉線索——烏拉姆螺線（Ulam Spiral）

關於「素數的出現並不是某種巧合」的偉大證明之一的由來, 讓人覺得不可思議：來自某位無聊演講者偶然地信手塗鴉。

圖1

故事是這樣的。1963年，一位波蘭數學家斯坦尼斯拉夫·烏拉姆（Stanislaw Ulam）在一次研討會上偶然發現了一種視覺模式。在繪製網格線時，他決定根據方形螺旋圖案對網格交點編號，然後開始圈出螺旋線中的質數。令人驚訝的是，盤繞的素數似乎沿多條對角直線分布，或者，如烏拉姆所述：「似乎表現出強烈的非隨機外觀」。

烏拉姆螺線（即素數螺線）是通過在正方形螺旋中標記素數的集合而得到的圖形。它最初經由《科學美國人》雜誌中的馬丁·加德納（Martin Gardner）的「數學遊戲」專欄發表並進入主流科學家視野的。

圖2

上面的可視化圖清楚地突出了存在某種重要的模式，尤其是對角線。但是也許這只是我們在自欺欺人？針對烏拉姆螺線的一個常見反駁是，也許我們的大腦只是在隨機分布中錯誤給出某種模式來誤導自己。幸運的是，我們可以採用兩種不同的方法來確認情況並非如此。視覺上的比較和邏輯上的推導都將使人們確信它們必然不是隨機的。首先，我們將比較由NxN尺寸的矩陣製作的烏拉姆螺線與包含隨機分布的點的大小相等的NxN矩陣。其次，我們將運用多項式的知識來確切地解釋為什麼我們理應期待素數的可視化圖像中存在某種規律。

如前所述，用烏拉姆螺線確認非隨機模式的最直觀方法可能是直接比較。這是通過創建烏拉姆螺線和具有相同尺寸的隨機分配生成的螺線來完成的。以下是代表數值螺線的兩個不同的200x200矩陣：

圖3

通過視覺比較，很明顯烏拉姆螺線包含醒目的圖案，尤其是沿某些對角線的軸線；此外，幾乎沒有點出現集群現象。另一方面，點的隨機配置生成的螺線不會產生任何顯而易見的規律——並恰好導致了多個方向出現聚類。毫無疑問，這種對比缺乏傳統意義上證明的嚴格性。然而，在可視化素數螺旋中存在某種純粹的東西，一種不經意間偶然發現的方法，它產生的圖既具有邏輯上的鼓舞性又具有美學上的吸引力。

以更合乎邏輯和傳統的方式了解素數的性質，期待在這些可視化圖中存在某種規律實際上是合理的。如圖所示，在對角線，水平和垂直方向上的線似乎包含了一些線索。其中一些不是素數的線可以用本質上排除素數的簡單二次多項式來解釋。例如，對角線之一可以表示為 y =x²，這顯然排除了素數的可能性。另一方面，少數二次多項式稱為素數公式（晚點會再次介紹）會產生高密度的素數，例如歐拉的素數生成多項式：x²+x+41，是另外一條在螺旋圖中出現的直線（雖然在上圖中很難識別，且在圖中不連續）。

視覺比較暗示了素數分布存在某種規律，而邏輯推演則通過映射出素數確認了某種預期的模式存在。當然，雖然與尋找所有素數的通用公式相去甚遠，但是烏拉姆螺旋無疑是美麗的，無論是基於知識的視角，還是基於自然藝術的視角。

薩克斯螺線（Sacks Spiral）

就像數學中的許多主題一樣，當一個原始想法出現時，一群隨行的同事便竭盡全力為新興領域做出貢獻。毋庸置疑，烏拉姆螺線啟發了幾代數學家，他們試圖在其迷人的發現基礎上繼續添磚加瓦。 1994年，一名貿易軟體工程師羅伯特·薩克斯（Robert Sacks）致力於利用他的編程技能以不同方式來可視化素數。

就像烏拉姆螺旋一樣，薩克斯決定使用另一個螺旋平面（極坐標平面）來構造他的圖形。類似於上面的方形螺線，螺旋平面放棄用傳統的笛卡爾坐標來標識點，因為它是單極定位系統。只需知道數字就可以揭示其在螺旋平面中的位置，知道該點相對於其他點的位置，以及該點到前一個和後一個完全平方數的距離。相比於正方形螺線，薩克斯嘗試從滿足如下極坐標的用整數繪製的阿基米德螺線中尋找某種規律：

圖4

在這種方法中，阿基米德螺線以零為中心，所有自然數的平方（1、4、9、16、25）繪製在螺線和極軸的交點（也就是在原點正東的方向）上。

圖5

通過這種設置，我們然後沿著螺旋線（逆時針）填充平方數之間的點，使它們彼此等距繪製。最後，像上面的烏拉姆螺線示例一樣，我們在最終的圖案中突出顯示了螺線中包含的素數。

薩克斯數字螺線（Sacks Number Spiral）首次在線發布於2003年，無論在視覺和智慧上都引人注目。另外，正如我們稍後將要演示的那樣，與眾所周知的烏拉姆螺線相比，它還有助於對素數的模式進行更深入的了解。因為實際上，它把烏拉姆的擬螺旋線中斷裂的線條連接到了一起：

圖6

多項式和乘積曲線

在最初的發現之後，羅伯特·薩克斯（Robert Sacks）所做的工作主要集中在乘積曲線上，這些曲線是從螺旋的中心或靠近螺旋的中心出發，並以不同的角度橫越正東方向的軸線。曲線很多時候近乎筆直的，但更典型的是，它們繞原點從正東軸或部分，或完整，或多次順時針繞行（與螺旋線本身相反），然後遠離東西軸線，逐漸與東西軸方向平行。薩克斯螺旋線最引人注目的地方之一是這些乘積曲線在西半側（與完美平方數相對的一側）上佔主導地位。

薩克斯將乘積曲線描述為代表「具有定差的因子乘積（products of factors with a fixed difference between them）」。換句話說，每條曲線都可以由二次方程式（二次多項式）表示。考慮到完美平方數是構建薩克斯螺旋結構的首要因素，該結論不僅僅是巧合。可以說，這些乘積曲線表明，在我們理解質數的過程中，薩克斯螺線比烏拉姆螺線更有用。最初的烏拉姆螺線啟發了圖案的潛在規律和可能的方程式，而薩克斯螺線則整齊地提供了素數公式（prime formula）的起點：它們的曲率和連續性滿足類似晶體陣列的觀感，因此更容易被識別。例如，下面的薩克斯螺線包含突出顯示的線，對應給出了素數生成公式。如之前提到的，歐拉著名的素數二次方程式，如下所示（注釋的最下面一條：n²+n+41）：

圖7

憑藉數字螺線，薩克斯可以得出驚人的斷言，即質數是：僅位於某條乘積曲線上的正整數。由於螺線可以無限向外延伸，因此乘積曲線本身可以被認為是無限的。從理論上講，這些乘積曲線可以用於預測非常巨大的數值中的素數的位置。至少，它們值得進一步思考。

總的來說，薩克斯螺線可以通過更容易識別的素數公式來推動我們更深入地了解質數。

這一切的意義

現在，我們已經分析了烏拉姆螺線和薩克斯螺線。通過兩個示例，我們對素數背後的本質的理解得到了擴展。具體來說，「薩克斯螺線」向我們推介了乘積曲線，該乘積曲線本質上是一組稱為素數公式的二次方程式。烏拉姆和薩克斯的這兩個螺線圖案都包含了出人意料的美學，它們既撫慰了我們的好奇心，也為一個具有普遍挑戰性的問題點亮了一盞路燈。

那麼從這裡可以學到什麼呢？

即使是出於好奇和無聊，也不要迴避去為那些看似不可能解決的問題重新構建解決框架；突破性的發現不會歧視每個人，而且往往出現在那些最出乎意料的努力中。斯坦尼斯拉夫·烏拉姆通過可視化方法改變人們對一個著名問題的看法，使我們邁出了更近一步來了解質數。誰知道我們會偶然發現其他多少意外的發現呢？

註：本文轉自公眾號「科學出版社數學教育」