數學教育學報2011年第4期
數學的美 在於數學思想深刻之美
顧 沛
（南開大學 數學科學學院，天津 300071）
關鍵詞：數學美；數學思想；數學文化
南開大學的數學文化課程，從2001年2月開設，至今已經10年了．數學文化課受到廣大學生的歡迎，取得了一些成績，被評為國家精品課程，課程組獲全國五一勞動獎狀．那麼，數學文化課如何進一步提高教學質量呢？
科學求真，人文求善；真和善又都導致美．美，具有文化的屬性，而數學科學是美的．數學文化課，要讓學生感悟數學的美．數學的美，表現在許多方面，特別表現在數學的本質上，表現在數學的思想、精神上．所以，我決定講這樣一個題目——「數學的美，在於數學思想深刻之美」．
1 黃金分割點的再生性
一般講到「黃金分割」的美，都會說到它體現了外觀的美、形式的美，給人一種愉悅的感受．並且還用人體各部分的比，著名建築物中各部分的比，美觀矩形的寬長比，風景照片中地平線位置的安排，正五角星中的線段比，舞臺報幕者的最佳站位等，來說明0.618這一分割點的美．那麼，為什麼不是 0.5的分割點為「恰到好處的和諧」，讓人感覺愉悅，而是0.618的分割點讓人感覺愉悅呢？
在這幾年的教學實踐中，我逐漸感覺到，黃金分割點的再生性，很可能是「黃金分割」美的數學依據．華羅庚先生證明了，黃金分割點 具有再生性．
根據黃金分割點的再生性，華羅庚先生設計了一種直觀的優選法——「摺紙法」，在全國推廣．
0.618這個「黃金分割點」能產生「優選法」，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯繫的．
2 「等於」的思想
世界上的任何兩件事物，都不會是完全一樣的；如果完全一樣，那就是同一件事物了．所以，「等於」的思想，把不同的兩件事物看作相同，是非常了不起的思想，這是數學發生、發展的基礎．為了「看作相同」，在使用「等於」時，當然要抓住事物本質的部分，而揚棄某些非本質的部分．
數學文化課，從文化的角度來看數學，應該引導學生重視「等於」，並且與學生一起，共同找出「等於」的實質，那就是事物之間滿足「反身性」、「對稱性」和「傳遞性」的一種「關係」．它的推廣，就是「等價關係」．利用等價關係對事物分類，就有了對集合的「分劃」，就產生了「等價類」的概念．
3 「逼近」的思想
數學從數量關係和空間形式上刻畫和反映客觀世界，當然希望準確地刻畫和反映．但是，客觀世界是紛繁複雜的，人們未必能夠一上來就十分準確地刻畫，所以就有一個「逐步準確」的過程，就產生了「逼近」的思想，就有了「以簡代繁」的手段，就出現了數學「以簡馭繁」的效果．
這種「逼近」的思想，也是非常深刻的數學思想．古希臘阿基米德的「窮竭法」，中國古代數學家劉徽的「割圓術」，牛頓「微分學」中的「捨去高階無窮小」，都是「逼近」思想的具體運用．
上面談到的這些數學思想，都讓人感悟到數學的偉大，感悟到數學之美．所以說，「數學的美，在於數學思想深刻之美」．