大學物理——力學第三章:動量定理與動量守恆

1、衝量與動量

上一篇講到牛頓第二定律的數學形式  ，首先根據加速度的定義，有 ，進而有  ，對這個式子兩邊做積分，得到

這個式子的意義是，質點所受合力對時間的積分，等於質點質量與質點末、初態速度之差的乘積，其實等式左邊即為質點在這一時間段內受到的衝量，等式右邊即為質點動量的變化量。

衝量的定義：力在時間上的積分： 

動量的定義：質點質量與速度的乘積： 

可以注意到，動量與衝量的量綱是一致的，且都是矢量，但是這兩個物理量具有本質上的區別，從數學形式上觀察，顯然衝量是（時間）過程量，它與力在這一段時間內的變化有關，而動量是狀態量，它只由質點這一時刻的速度和質量決定。

2、動量定理

（1）質點的動量定理

上面的推導已經說明了質點的動量與其所受衝量之間的關係，這個關係被稱作質點的動量定理，它的具體描述是：一個質點在某一過程中動量的變化量等於這個質點在這一過程中所受的衝量。數學形式如下：

質點的動量定理的微分形式： 

質點的動量定理的積分形式： 

（2）質點系的動量定理

質點系在某一過程中總動量的變化量等於這個質點系所受的外力在這一過程中的衝量。這個定理表明，質點系中任意一對內力的衝量為零，當然也可以牛頓第三定律推導得出，下面我們給出嚴格的數學推導：

 （其中  表示第j個質點對第i個質點的作用力）

由牛頓第二定律得   ，

故上式右邊第二項為零，因而有 

3、動量守恆定律

如果一個質點（質點系）所受合力（外力之和）恆為零，那麼這個質點（質點系）的動量守恆。在朗道力學中，一個力學體系的動量守恆，代表了這個力學體系在空間上的平移對稱性，事實上，純力學中的每一種守恆量都代表了一個力學體系的某一種對稱性，我們也可以通過觀察力學體系的對稱性來猜測它可能存在某種守恆量。

4、變質量問題

動量定理最主要的應用之一就是解決「變質量問題「，在變質量問題中，研究對象在研究過程中質量連續變化（增加或減少）。

典型應用是研究火箭升空的過程，因為火箭升空時不斷燃燒並向外噴出高溫高壓的氣體，火箭的質量在連續減少。此時如果再用牛頓定律去分析其運動狀態會變得複雜，而用動量定理就會清晰易懂。我們先給出描述變質量問題的普適方程——密舍爾斯基方程，再給出其推導過程。

密舍爾斯基方程：  ，其中  為研究對象受外力（注意這當中不包括研究對象與其丟失或增加的質量間的相互作用力），m為研究對象的質量，  為研究對象的速度，  為丟失或增加的質量相對於研究對象的速度。

下面我們進行嚴格的推導：

圖：變質量問題

上圖是最一般的變質量模型，我們考慮質量連續增加的情況（質量連續減少的情況就是  ，方程在形式上是一樣的，在具體問題中，某個速度或者某個力可能與此模型中的方向不同，對於一維的問題，方向只是正負號不同），故由質點系的動量定理可得

展開化簡得

等式兩邊除以dt，移項可得

令  得

因此在遇到變質量問題時，一般選定研究對象，分析速度方向和受力情況，對其列密舍爾斯基方程，剩下就是解微分方程即可。

5、小結

本篇從牛頓第二定律的數學形式出發，定義了動量與衝量兩個物理量，並研究了它們之間的關係，得出了動量定理與動量守恆定律；然後利用動量定理研究了變質量問題的一般模型，給出了密舍爾斯基方程及其推導方法。

未完待續……

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