課堂練習:分形物體轉動慣量的計算

2021-01-14 物理與工程

問題：有如下三種分形圖形——康託爾三分集、謝爾賓斯基地毯、謝爾賓斯基三角形。他們的質量均為m，長度（邊長）為，試求他們對質心的轉動慣量

康託爾三分集

謝爾賓斯基地毯

謝爾賓斯基三角形


方法一：自相似法

對於一個分形的質量為m 長度為的「線段」，我們可以這樣來計算它的轉動慣量。


首先，將這個線段分為左右兩半。考慮到分形結構的自相似性，我們可以得出左右兩個小部分的m '，' 和以其質心為轉軸的轉動慣量I ' 的關係和整體滿足一樣的關係。 即如果，則有。由於，所以

     

 ①

根據平行軸定理我們可以得出左邊的半個「線段」相對於中心的轉動慣量為

     

②

物體總的轉動慣量由左右兩部分構成，因此

③

可以解得

類似地，我們也可以得出謝爾賓斯基地毯形狀的轉動慣量。我們把地毯分為9個部分，每個部分的轉動慣量記為I '，那麼對於其中每一個部分，其邊長是大地毯的1/3，質量是大地毯的1/8，再結合量綱分析，我們可以得到每一塊小地毯繞其自身的對稱軸的轉動慣量是

同樣的，再有平行軸定理，可以得出

這樣最終可以算出


方法二：遞推法


我們稱將杆子的中間1/3截去為一次操作，經過n次操作後的轉動慣量設，由量綱分析我們可以得到

這裡m 和  是經過n 次操作後的質量和長度，為了簡單略去了 m 和的下標。由康託爾三分集的遞推性，容易想到利用數列的遞推公式去求它的極限。

經過n 次操作後的杆可以看作由兩段質量為 m/2 長度為 /3 的杆構成，經過了n-1次操作的杆的組合。由平行軸定理我們可知

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