轉動慣量的測定

轉動慣量的測定

轉動慣量是剛體轉動中慣性大小的量度。它取決於剛體的總質量、質量分布、形狀大小和轉軸位置。對於形狀簡單，質量均勻分布的剛體，可以通過數學方法計算出它繞特定轉軸的轉動慣量，但對於形狀比較複雜，或質量分布不均勻的剛體，用數學方法計算其轉動慣量是非常困難的，因而大多採用實驗方法來測定。

轉動慣量的測定，在涉及剛體轉動的機電製造、航空、航天、航海、軍工等工程技術和科學研究中具有十分重要的意義。測定轉動慣量常採用扭擺法或恆力矩轉動法，本實驗採用恆力矩轉動法測定轉動慣量。

實驗目的

1.學習用恆力矩轉動法測定剛體轉動慣量的原理和方法。

2.觀測剛體的轉動慣量隨其質量，質量分布及轉軸不同而改變的情況，驗證平行軸定理。

3.學會使用智能計時計數器測量時間。

實驗原理

1. 恆力矩轉動法測定轉動慣量的原理

根據剛體的定軸轉動定律：

M=Jβ             （1）

只要測定剛體轉動時所受的總合外力矩M及該力矩作用下剛體轉動的角加速度β，則可計算出該剛體的轉動慣量J。

設以某初始角速度轉動的空實驗臺轉動慣量為J1，未加砝碼時，在摩擦阻力矩Mμ的作用下，實驗臺將以角加速度β1作勻減速運動，即：

        Mμ=J1β1             （2）

將質量為m的砝碼用細線繞在半徑為R的實驗臺塔輪上，並讓砝碼下落，系統在恆外力作用下將作勻加速運動。若砝碼的加速度為a，則細線所受張力為T= m( g - a)，其中，g為重力加速度，一般情況下，g=9.8m/s2。若此時實驗臺的角加速度為β2，則有a= Rβ2。細線施加給實驗臺的力矩為T R= m ( g -Rβ2)R，此時有：

    M(g-Rβ1)R-Mμ=J1β2    （3）

將（2）、（3）兩式聯立消去Mμ後，可得：

          （4）

同理，若在實驗臺上加上被測物體後系統的轉動慣量為J2，加砝碼前後的角加速度分別為β3與β4，則有：

        （5）

由轉動慣量的迭加原理可知，被測試件的轉動慣量J3為：

J3=J2=J1           （6）

測得R、m及β1、β2、β3、β4，由（4）、（5）、（6）式即可計算被測試件的轉動慣量。

1.  β的測量

實驗中採用智能計時計數器計錄遮擋次數和相應的時間。固定在載物臺圓周邊緣相差π角的兩遮光細棒，每轉動半圈遮擋一次固定在底座上的光電門，即產生一個計數光電脈衝，計數器計下遮檔次數k和相應的時間t。若從第一次擋光（k=0，t=0）開始計次，計時，且初始角速度為ω0，則對於勻變速運動中測量得到的任意兩組數據（km，tm）、（kn，tn），相應的角位移θm、θn分別為：

2. 平行軸定理

理論分析表明，質量為m的物體圍繞通過質心O的轉軸轉動時的轉動慣量J0最小。當轉軸平行移動距離d後，繞新轉軸轉動的轉動慣量為：

J=J0+md2        （10）

儀器介紹

1. ZKY-ZS轉動慣量實驗儀

2. 

轉動慣量實驗儀如圖1所示，繞線塔輪通過特製的軸承安裝在主軸上，使轉動時的摩擦力矩很小。塔輪半徑為15、20、25、30和35mm共5擋，可與砝碼託及5個砝碼組合（砝碼及砝碼託的質量請自行稱量），產生大小不同的力矩。載物臺用螺釘與塔輪連接在一起，隨塔輪轉動。隨儀器配的被測試樣有1個圓盤、1個圓環、兩個圓柱；試樣上標有幾何尺寸及質量，便於將轉動慣量的測試值與理論計算值比較。圓柱試樣可插入載物臺上的不同孔，這些孔到中心的距離分別為45、60、75、90和105mm，便於驗證平行軸定理。鋁製小滑輪的轉動慣量與實驗臺相比可忽略不記。一隻光電門作測量，一隻作備用，可通過智能計時計數器上的按鈕方便的切換。

實驗內容與步驟

1.        實驗準備

在桌面上放置ZKY-ZS轉動慣量實驗儀，並利用基座上的三顆調平螺釘，將儀器調平。將滑輪支架固定在實驗臺面邊緣，調整滑輪高度及方位，使滑輪槽與選取的繞線塔輪槽等高，且其方位相互垂直，如圖1所示。並且用數據線將智能計時計數器中A或B通道與轉動慣量實驗儀其中一個光電門相連。

2.        測量並計算實驗臺的轉動慣量J1

（1）測量β1

上電開機後LCD顯示「智能計數計時器    世紀中科」歡迎界面延時一段時間後，顯示操作界面：

a、選擇「計時  1—2 多脈衝」 。

b、選擇通道。

c、用手輕輕撥動載物臺，使實驗臺有一初始轉速並在摩擦阻力矩作用下作勻減速運動。

d、按確認鍵進行測量。

e、載物盤轉動15圈後按確認鍵停止測量。

f、查閱數據，並將查閱到的數據記入表1中；

採用逐差法處理數據，將第1和第5組，第2和第6組……，分別組成4組，用（9）式計算對應各組的β1值，然後求其平均值作為β1的測量值。

7、按確認鍵後返回「計時  1—2 多脈衝」界面。

（2）測量β2

a、選擇塔輪半徑R及砝碼質量，將1端打結的細線沿塔輪上開的細縫塞入，並且不重疊的密繞於所選定半徑的輪上，細線另1端通過滑輪後連接砝碼託上的掛鈎，用手將載物臺穩住；

b、重複（1）中的b、c、d步；

c、釋放載物臺，砝碼重力產生的恆力矩使實驗臺產生勻加速轉動；

記錄8組數據後停止測量。查閱、記錄數據於表2中並計算β2的測量值。

由（4）式即可算出J1的值。

表1 數據記錄表

勻減速

k

平

均

t  (s)

k

t  (s)

β1 (1/s2)

表2  數據記錄表

勻加速   R塔輪=   mm    m砝碼=   g

k

平

均

t (s)

k

t (s)

β2 (1/s2)

3.測量並計算實驗臺放上試樣後的轉動慣量J2，計算試樣的轉動慣量J3並與理論值比較

將待測試樣放上載物臺並使試樣幾何中心軸與轉軸中心重合，按與測量J1同樣的方法可分別測量未加法碼的角加速度β3與加砝碼後的角加速度β4。由（5）式可計算J2的值，已知J1、J2，由（6）式可計算試樣的轉動慣量J3。

已知圓盤、圓柱繞幾何中心軸轉動的轉動慣量理論值為：

4.驗證平行軸定理

將兩圓柱體對稱插入載物臺上與中心距離為d的圓孔中，測量並計算兩圓柱體在此位置的轉動慣量。將測量值與由（11）、（10）式所得的計算值比較，若一致即驗證了平行軸定理。