一升100度的水裡倒入一升0度的水之後是不是兩升50度的水？

先從最簡單的情形開始考慮吧。

等質量混合，忽略熱容變化

中學熱學公式：

兩邊消去cm，顯然有

。

等體積混合，忽略熱容變化

眾所周知水的密度與溫度有關，查表可知，100 kPa 下 0 °C 與 100 °C 時水的密度分別為 0.99984 和 0.95840 g/cm³[1]。因此

等體積混合，考慮熱容變化

水的熱容也並非常數。和上文密度在同一張表[1]裡面，也可以找到（定壓）熱容的數據。考慮到實際的物理過程，這裡使用定壓熱容也會比定體熱容合適一點。

因為熱容不再是常數，吸放熱公式需改為積分形式：

帶入數據數值求解一番：

(* 構建插值公式 *)density = Interpolation[Transpose @ { Range[0, 100, 10], {0.99984, 0.99970, 0.99821, 0.99565, 0.99222, 0.98803, 0.98320, 0.97778, 0.97182, 0.96535, 0.95840}}];heatCapacity = Interpolation[Transpose @ { Range[0, 100, 10], {4.2176, 4.1921, 4.1818, 4.1784, 4.1785, 4.1806, 4.1843, 4.1895, 4.1963, 4.2050, 4.2159}}];(* 質量（密度）之比 *)m1$m2 = density[0] / density[100];(* 數值求解 *)sol = FindRoot[ m1$m2 * Integrate[heatCapacity[T], {T, 0, Tf}] == - Integrate[heatCapacity[T], {T, 100, Tf}], {Tf, 50}]

得到最終溫度為 48.9946 °C。此時的體積：

2 / density[Tf] /. sol

結果為 2.0243 L。

注

我們這裡的計算僅考慮熱力學因素，動力學因素（混合過程中對流等過程）過於複雜，沒有辦法從基礎的物理學公式得到，因此不做考慮。如何選擇近似、選擇多大程度的近似，始終是物理學中的一個重要話題。