世界不隨機！假帳殺手：本福特定律Benford's Law

身處大數據時代，數字，無所不在。從小至個人身分證、信用卡、消費行為、薪水，大至一個國家的人口、GDP、土地面積......任何分秒，任何位置，任何事物，都能用數字來量化。

直覺上來說，這些不論是經由人的行為、或是大自然自然發生的事件，所產生的數字，應該要是隨機的吧？就像擲骰子一樣，每個數字出現的機率都是六分之一。

但如果仔細觀察，這些數字，竟然背後都有一個神奇的模式。

這讓愛因斯坦的名言，「上帝不會擲骰子。」雖然這項定律目前就看來與量子力學八竿子打不著，但同樣說明了－－世界不是那麼隨機的。

1881年，美國天文學家西蒙．紐康（Simon Newcomb）在《美國數學期刊》發表了一篇文章，文中提到他注意到和對數有關的書籍有個奇怪現象，後來科學家廣泛運用他的發現進行計算——這些書的第一頁，變髒的速度似乎比最後一頁快很多。

Simon Newcomb

書的翻頁痕跡...描繪出神奇定律: 骯髒頁面效應

當時，紐康正在圖書館讀和對數相關的書籍，他發現這些書前面的書頁比後面的破舊，也就是說，數字比較小的前幾頁比較多人查閱。他認為，由於某種原因，人們對開頭為1的數字進行的計算，會比對開頭為8或9的數字使用的還要多。

對數表

顯而易見的解釋，聽起來讓人困惑。由於某些原因，人們對1開頭的數字所進行的計算，比對8和9開頭的數字更多。紐康提出的一個小方程式，很適合用在這個模式：自然界對數字的安排似乎有一個傾向，那就是以D位數為起頭的數字比例，會等於以10為底的1 + (1/D )對數。

紐康在論文裡並沒有提出特別有說服力的理由，說明為什麼這個公式會有用，所以他的文章並未引起人們太多的興趣，而「骯髒頁面效應」（Grubby Pages Effect）則被人們遺忘了半個多世紀。

但在1938年，美國通用電氣公司的物理學家法蘭克．本福特（Frank Benford）再次發現了這種效應，並提出與紐康相同的定律。然而，班佛更進一步搜集了超過兩萬個數字，這些數字從河流排水區列出的數據，到舊雜誌裡文章出現都有。班佛表示，這些數字都遵循了相同的基本定律：大約有30%的數字以1開始，18%的數字以2開始，依此類推。

法蘭克．本福特

和紐康一樣，班佛對定律的存在，也沒有任何很好的解釋。即使如此，他因為提供了十分豐富的證據，證明了這種現象的真實性和特殊性，不過他抓取了兩萬多筆資料，發現他們竟全都遵循這個公式，因此「本福特定律」正式誕生。而使得他的名字從那時開始，一直和這個定律連在一起。

謎一般的定律這裡、那裡到處都是

好，因為這個定律實在太玄了，如果要探討它的歷史就會變得不有趣了，那來看看它可以怎麼運用？

1. 美國各州各郡人口數，某由網友利用R程式分析
2. 英式足球，攻方在被攔截前成功傳球的次數
3. 破火山口覆蓋面積、年齡與火山噴發持續天數
4. 「Lesser Faith」 by J. Syreus Bach音樂中的頻譜數值，同由R網站網友分析
5. 圖片中像素的顏色值分布
6. 甚至一名攝影師個人攝影的習慣

想造假？定律立刻揪出來！

好啦，它很神奇，但有什麼用？

談到本福特定律，就不得不提，它對於造假數字有多麼敏感。照理來說，所有數據都應該符合本福特定律，但如果有人為蓄意造假，比例就會出現偏離，啊，那就抓到了。

抓到什麼？

抓到會計表中的假帳、選舉人票數做假、圖片移花接木、殭屍社群媒體帳號......數字不會騙人。

2002年，在美國Znetix/HMC上市詐騙案中，有七萬多筆支票跟匯款交易要查，人工全部看完交易是不太實際的事情。這時，鑑識會計專家Darrell Dorrell就用了本福特定律，找出疑似虛假或重複的交易（即那些首位數字比例明顯高於本福特定律的交易），加速了整個調查的過程。

除非舞弊犯學過本福特定律，還自己試算過，否則還真不容易被破解。

右邊就是Darrell Dorrell

這項定律實際運用上還有不少限制。

第一，收集資料樣本要夠多，至少要3,000筆以上；

第二，不可有「人為限制」，比如說想探討平均房租，因為已有固定價格區間而將不符合本福特定律，或是身分證、電話號碼這些人為制定數字也不符；

第三，跨越越大量度越能準確預測，像是身高、體重、年齡這些具有上下限的數據就不滿足；

第四，真正隨機的數字也不符合本福特定律，比如真的去擲骰子。

結論，過了100多年，相信本福特定律的應用，仍值得人們進一步探索。