日期：2019年1月15日
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來源：許志強
在所有函數裡面，如果讓我選擇一個最特別的函數，我會選擇高斯函數。而且，我將高斯函數稱為最接近上帝的函數。高斯函數事實上是指形式如下的一類函數：
aexp(−frac(x−b)22c2)aexp(−frac(x−b)22c2)
高斯函數的確有很多特別之處，雖然我並不能夠真正完全洞悉它的內在，但我依然認為它是最接近上帝的函數。
我曾經將Fourier變換比作西遊記中的照妖鏡。在照妖鏡裡仍不能現出原形的大抵只能是法力很高的東西了。而在函數群體裡，高斯函數的確有這種特質：即使你用照妖鏡，你看到的仍然是一個高斯函數。也就是，高斯函數的Fourier變換仍然是高斯函數。用數學的語言來說，就是高斯函數是Fourier變換的特徵函數。由此可見，高斯函數在函數群體裡，的確屬於法力很高的一個，因此我將其稱為最接近上帝的函數(如果你喜歡，你也可以稱其為最接近如來佛的函數)。
如果你覺得上面的這個說法太過於「神化」，那我們就來個科學的。熱力學定律被認為是宇宙的基本法則，包含了能量守恆，熵等等。當然，扯上了「熵」就會有「時間之箭」之類的。此非我專長，就此打住。描述熱的傳播規律當然是用熱傳導方程。而熱傳導方程的解，確是初始的溫度場和高斯函數的卷積。也就是，在理想情況下，熱的傳導規律是由高斯函數來確定的。
如果你覺得上面的說法過於「科學」，那我們就再來個關於上帝的。上帝創造世界，一切似乎都是無規律的。各種物件的尺寸分布似乎無任何規律：如人的身高、樹葉的面積、星球的大小等等。但今天我們知道，這些看似無規律的背後其實是正態分布。而正態分布的密度函數就是高斯函數。也就是說，這些表面看來毫無規律的東西，如果放在一起，就會出現高斯函數。這使得我們不由得問：難道世界的創造真是按照高斯函數來進行的嗎？
如果你覺得上面的說法統統離你太遠，那麼就欣賞一下頤和園裡的拱橋。看來中國古代建築師也是按照高斯函數來建橋的呢：
說到這裡，不妨多說幾句。高斯函數的一種很好的近似是B-樣條函數。當次數趨向於無窮的時候，在適當的標準化下，B-樣條函數趨向於高斯函數。由於高斯函數的支集是無限的，而B-樣條函數支集是有限的。因此，很多論文探討在計算的時候將高斯函數替換為B-樣條函數之後的效果。
泊松求和公式被很多數學家認為是數學裡面最美的求和公式。泊松求和公式大意是一個函數在所有整數點的和等於其Fourier變換在所有整數點的和。由此可以導出無數漂亮的公式。有時間我會寫一下泊松求和公式與小高斯當年計算1+2+...+100和的關係。在泊松求和公式中，我們又看到了Fourier變換。天，難道能和Fourier變換扯上關係的都會註定有貴族的血統嗎？