撰文 | 倪憶（加州理工學院數學系教授）
來源：普林小虎隊
2020年諾貝爾物理學獎被授予羅傑·彭羅斯 (Roger Penrose)，萊因哈特·根策爾(Reinhard Genzel)，和安德裡亞·蓋茲 (Andrea Ghez)，獎勵他們三人在黑洞研究方面作出的傑出貢獻。
三位獲獎者中年紀最大的羅傑·彭羅斯爵士出生於1931年，是一位英國數學家、物理學家和科普作家。他的原始獲獎工作是1965年發表的一篇只有三頁的數學論文，在相當廣泛的條件下證明了黑洞內奇點的存在。[0]（靜止黑洞是1916年由史瓦西 (Schwarzschild) 提出來的。1963年，今仍健在的克爾（Kerr）描述了更一般的旋轉黑洞。）這可能是諾貝爾物理學獎第一次頒發給一個純數學工作。彭羅斯是物理學家霍金的好友，他倆後來合作把彭羅斯的工作推廣到宇宙學領域，證明了大爆炸一定始於一個奇點。
霍金與彭羅斯
彭羅斯的研究興趣非常廣泛，既有前沿的數學和物理，又有對人工智慧和神經科學的深入思考，還有面向大眾的趣味數學。他年輕時就跟他的父親萊昂內爾·彭羅斯（Lionel Penrose，一位精神病學家和遺傳學家，曾獲得具有諾獎風向標之稱的拉斯克獎）一起設計了不可能在現實空間中實現的彭羅斯三角。
彭羅斯三角
彭羅斯三角最初由瑞典藝術家奧斯卡·路透斯沃德（Oscar Reutersvrd）在1934年發現，後由彭羅斯父子在五十年代獨立發現並普及。路透斯沃德據說患有失讀症，對估計物體的距離和大小有障礙。他的藝術家庭鼓勵他在家作畫和雕塑。1934年，作為一個只有18歲的學生，他就發明了不可能的三角。1937年他又發明了不可能階梯。他一生中畫了很多很多不可能構形。1982年，瑞典發行了「不可能三角」等郵票，來紀念他。[1]
上世紀80年代瑞典為紀念Oscar Reutersvrd發行的郵票
彭羅斯三角可以利用視覺錯覺來「實現」。比如下圖中位於澳大利亞珀斯的這個雕塑，從特定方向看就是彭羅斯三角。
視覺錯覺效果動圖
奧地利的一個彭羅斯三角
這個比利時的彭羅斯三角採用了另外一種錯覺設計：看起來像是直的，實際是彎的。
彭羅斯父子還創造了不可能實現的彭羅斯階梯。[2]
彭羅斯階梯
彭羅斯階梯是荷蘭版畫大師埃舍爾作品《上升與下降》的主題。
在電影《盜夢空間》裡友情出演
彭羅斯最著名的趣味數學發現當屬他上世紀70年代發現的彭羅斯鑲嵌(Penrose tiling) 。這裡說的鑲嵌就是用地板磚無縫鋪滿平面。我們最常見的地板磚是方形的，因為用同樣大小的方形很容易鋪滿平面。我們也可以用同樣形狀和大小的三角形來鋪滿平面。
用香瓜的玩具拼出來的圖
任意形狀的三角形都可以鋪滿平面
任意形狀的四邊形都可以鋪滿平面
甚至這種奇形怪狀的也能
有了三角形和四邊形，下一個形狀就是五邊形。然而，同樣形狀和大小的五邊形不能拿來鋪滿平面。無論怎麼鋪，總會有縫隙。
下一個是正六邊形，可以鋪滿平面。勤勞的小蜜蜂搭建的蜂巢就是這種形狀。
前面幾種鋪滿平面的方式都是周期性的，意思就是可以把所有地板磚朝某個方向平行移動一段距離，得到的鋪法跟原來的還是分毫不差。比如方形的鋪法，可以沿水平方向平移一個方格邊長的距離，也可以沿豎直方向平移同樣的距離，得到的鋪法跟原來的一樣。這些鋪法實際上都是雙周期性的，也就是說沿著兩個無關的方向平移後還不改變。在討論平面鑲嵌時，「周期性」通常指的就是雙周期性。
可以證明，如果只用一種全等的多邊形鋪滿平面，得到的鑲嵌必然是周期性的。著名華裔邏輯學家王浩在六十年代提出如下問題：能否只用有限種全等的多邊形得到非周期性的平面鑲嵌？他的學生Robert Berger在1964年構造出第一個非周期性的例子，需要20426種多邊形。Donald Knuth和Raphael Robinson等人先後給出需要多邊形種類更少的例子，所需的多邊形種類被降到6種。
王浩最初研究使用這種著色的正方形(被稱為王浩骨牌)鋪滿平面，使得相鄰正方形沿著同樣顏色拼起來。王浩鑲嵌可以修改為不著色的多邊形鑲嵌。
彭羅斯鑲嵌是第一個只需要兩種多邊形的例子。這裡的地板磚是兩種不同形狀但具有同樣邊長的菱形。一個菱形的四個角的角度分別是36°,144°,36°,144°，另外一個菱形的四個角度分別是72°,108°,72°,108°。[3]
彭羅斯使用的幾何形狀
用這兩種菱形可以造出無數個非周期性的鋪法，比如下圖。
令人驚異的是，儘管上圖裡的彭羅斯鑲嵌不具有周期性，它仍然有五重對稱性。也就是說，把這個圖形繞某個中心點旋轉72°（360°的五分之一），還是得到原來的圖形。前面講到的用三角形、四邊形和正六邊形鋪滿平面的方式都不具有五重對稱性。
彭羅斯鑲嵌的另外一種形式是使用以下兩種「風箏」和「飛鏢」形狀的地板磚。[4]
彭羅斯鑲嵌的拼圖積木
彭羅斯鑲嵌還有許多奇妙的性質，跟一些深刻的數學理論有關。數學科普作家馬丁·加德納(Martin Gardner) 曾寫過多篇文章介紹彭羅斯鑲嵌。
加德納著作封面
彭羅斯鑲嵌出現在很多設計中，像下面這張照片裡彭羅斯爺爺腳下的地板。
這張照片拍攝於2010年德州農機大學Mitchell基礎物理與天文研究所。
彭羅斯工作的牛津大學數學研究所
牛津大學數學研究所出品的杯子
舊金山跨灣換乘樞紐的外牆
真的有這種洗手間瓷磚
還有這種
彭羅斯鑲嵌不僅僅是數學家的玩具，它還跟化學裡的一個重大發現有著密切聯繫。我們知道，很多物質都是由原子組成。有一類叫作「晶體」的固體，其中的原子(確切地說，還包括分子和離子。下同。)排列非常有規律，具有類似前面所說的周期性。
在冰的晶體結構裡，我們可以看到六邊形鋪滿平面的方式。每個六邊形的頂點處是一個氧原子。
H-O-H鍵角不確定度為±1.5°
在食鹽的晶體結構裡，我們可以看到正方形鋪滿平面的方式，每個正方形的頂點處是一個氯原子或鈉原子。
彭羅斯意識到，彭羅斯鑲嵌可能也對應於某種物質的原子排列。他在1976年的一封給加德納的信中寫道：
「這些事很有可能在生物學上具有某種重要性。你會記得某些病毒呈正十二面體和正二十面體，它們如何做到這一點的，似乎總是令人迷惑不解。不過假如以安曼的非周期性六面體為基本單位，那麼我們就會得到一些準周期性『晶體』，其中就包含此類看似不可能存在的、沿著十二面體或者二十面體各平面的 (晶體學上的) 解理方向。病毒是否有可能會以某種類似這樣的包含非周期性基本單位的方式生長——還是說這種想法太異想天開了？」[5]
腺病毒的結構是正二十面體，每個頂點處有五個小三角形。
上世紀八十年代初，以色列化學家丹·謝赫特曼 (Dan Shechtman) 發現了一種新的固體材料，它的電子衍射圖樣呈現十重對稱性，意味著原子排列不可能具有周期性。[6]這跟彭羅斯鑲嵌非常相似，然而謝赫特曼當時並不知道彭羅斯鑲嵌，在別人的幫助下才弄清了其中的數學。這種物質被命名為「準晶」 (quasicrystal) 。後來人們又發現了具有其它種類對稱性的準晶，包括八重、十重、十二重等在晶體裡不可能出現的對稱性。（相關內容見《數理史上的絕妙證明：準晶是高維晶體的投影》）
鋁鈀錳合金準晶的原子模型。[7]
中國科學院郭可信團隊是準晶的早期研究者，獨立發現跟謝赫特曼的材料有類似對稱性的材料，並率先發現八重對稱性準晶。[8]
準晶的存在嚴重違反了當時已知的晶體學常識，儘管它在數學上是可能的。包括雙料諾貝爾獎得主鮑林在內的許多化學家都不相信準晶理論，斥之為「準科學」。
謝赫特曼解釋準晶的原子模型
然而隨著越來越多準晶的發現，主流化學界逐漸接受了準晶。2011年，謝赫特曼一人獨享當年的諾貝爾化學獎。
謝赫特曼終獲認可
所以彭羅斯鑲嵌是這樣的數學：它由諾貝爾物理學獎得主發現，又跟諾貝爾化學獎工作密切相關。前述彭羅斯信件裡提到了病毒結構，或許哪天我們還會在諾貝爾生理學或醫學獎的頒獎詞裡看到彭羅斯鑲嵌？
注釋
[0] 一開始大家就知道黑洞的數學解中存在點狀奇點， 但黑洞的奇點是包裹在事件視界之內的。很多物理學家認為這個奇點是無法被觀測到的。換句話說，這個奇點可能並不存在於真實的黑洞中。這還是一個有爭議的問題。——文小剛
[1] 見連結 https://en.m.wikipedia.org/wiki/Oscar_Reutersv%C3%A4rd ，http://www.anopticalillusion.com/2012/04/impossible-figures-oscar-reutersvard/
[2]路透斯沃德首先發現了不可能階梯，彭羅斯父子和藝術家埃舍爾分別在1959年和1960年獨立發現了這一階梯。但彭羅斯直到1984年才注意到路透斯沃德的工作。
[3] 彭羅斯本人受到了克卜勒工作的啟發。業餘數學家Robert Ammann在1976年獨立於彭羅斯發現了彭羅斯鑲嵌，John H. Conway和N. G. De Bruijn等人對彭羅斯鑲嵌亦有很多貢獻。中世紀伊斯蘭建築藝術裡也有類似於彭羅斯鑲嵌的圖案，見文獻Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture, Peter J. Lu, Paul J. Steinhardt, Science 23 Feb 2007: Vol. 315, Issue 5815, pp. 1106-1110.
嚴格意義下的彭羅斯鑲嵌不光是使用這兩種菱形，對於如何沿著邊拼接也有要求。所以更確切的說法是使用如下兩種圖形：
[4] 類似上一條注釋，嚴格意義下這種形式的彭羅斯鑲嵌在沿著邊拼接時要求同樣顏色的弧對在一起。
[5] 譯文節選自《分形、取子遊戲及彭羅斯鋪陳》，上海科技教育出版社，作者馬丁·加德納，譯者塗泓。
[6] Shechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, J. (1984). "Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry". Physical Review Letters. 53 (20): 1951–1953.
[7] nal, B; V. Fournée; K.J. Schnitzenbaumer; C. Ghosh; C.J. Jenks; A.R. Ross; T.A. Lograsso; J.W. Evans; P.A. Thiel (2007). "Nucleation and growth of Ag islands on fivefold Al-Pd-Mn quasicrystal surfaces: Dependence of island density on temperature and flux". Physical Review B. 75 (6): 064205.
[8] Z. Zhang, H.Q. Ye and K.H. Kuo, A new icosahedral phase with the m35 symmetry, Philos. Mag. A, 52 (1985) L49-L52.
Wang, N.; Chen, H.; Kuo, K. (1987). "Two-dimensional quasicrystal with eightfold rotational symmetry". Physical Review Letters. 59 (9): 1010–1013.
作者簡介：倪憶，又名香瓜爸，加州理工學院數學系教授。平時除了研究數學和教書帶學生，喜歡追蹤科研熱點新聞，喜歡帶娃鍛鍊身體，是加州理工學院少兒科普組織Caltech CPA STEM的一員。歡迎關注作者公眾號「普林小虎隊」。
圖：香瓜和爸爸正在放生捕捉到的松鼠
本文經授權轉載自微信公眾號「普林小虎隊」，文章經過作者重新修訂。