高斯濾波器的原理和實現

高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效的抑制噪聲，平滑圖像。其作用原理和均值濾波器類似，都是取濾波器窗口內的像素的均值作為輸出。其窗口模板的係數和均值濾波器不同，均值濾波器的模板係數都是相同的為1;而高斯濾波器的模板係數，則隨著距離模板中心的增大而係數減小。所以，高斯濾波器相比於均值濾波器對圖像個模糊程度較小。

什麼是高斯濾波器

既然名稱為高斯濾波器，那麼其和高斯分布(正態分布)是有一定的關係的。一個二維的高斯函數如下：

其中(x,y)(x,y)為點坐標，在圖像處理中可認為是整數;σσ是標準差。要想得到一個高斯濾波器的模板，可以對高斯函數進行離散化，得到的高斯函數值作為模板的係數。例如：要產生一個3×33×3的高斯濾波器模板，以模板的中心位置為坐標原點進行取樣。模板在各個位置的坐標，如下所示(x軸水平向右，y軸豎直向下)

這樣，將各個位置的坐標帶入到高斯函數中，得到的值就是模板的係數。

對於窗口模板的大小為(2k+1)×(2k+1)，模板中各個元素值的計算公式如下：

這樣計算出來的模板有兩種形式：小數和整數。

小數形式的模板，就是直接計算得到的值，沒有經過任何的處理;

整數形式的，則需要進行歸一化處理，將模板左上角的值歸一化為1，下面會具體介紹。使用整數的模板時，需要在模板的前面加一個係數，係數為也就是模板係數和的倒數。

高斯模板的生成

知道模板生成的原理，實現起來也就不困難了

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
static const double pi = 3.1415926;
int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標的原點
double x2, y2;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - center, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - center, 2);
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
g /= 2 * pi * sigma;
window[i][j] = g;
}
}
double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的係數歸一化為1
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
window[i][j] *= k;
}
}
}
需要一個二維數組，存放生成的係數(這裡假設模板的最大尺寸不會超過11);第二個參數是模板的大小(不要超過11);第三個參數就比較重要了，是高斯分布的標準差。

生成的過程，首先根據模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。然後就是遍歷，根據高斯分布的函數，計算模板中每個係數的值。

需要注意的是，最後歸一化的過程，使用模板左上角的係數的倒數作為歸一化的係數(左上角的係數值被歸一化為1)，模板中的每個係數都乘以該值(左上角係數的倒數)，然後將得到的值取整，就得到了整數型的高斯濾波器模板。

下面截圖生成的是，大小為3×3,σ=0.83×3,σ=0.8的模板

對上述解結果取整後得到如下模板：

這個模板就比較熟悉了，其就是根據σ=0.8的高斯函數生成的模板。

至於小數形式的生成也比較簡單，去掉歸一化的過程，並且在求解過程後，模板的每個係數要除以所有係數的和。具體代碼如下：

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
static const double pi = 3.1415926;
int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標的原點
double x2, y2;
double sum = 0;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - center, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - center, 2);
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
g /= 2 * pi * sigma;
sum += g;
window[i][j] = g;
}
}
//double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的係數歸一化為1
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
window[i][j] /= sum;
}
}
}
3×3,σ=0.8的小數型模板。

σσ值的意義及選取

通過上述的實現過程，不難發現，高斯濾波器模板的生成最重要的參數就是高斯分布的標準差σσ。標準差代表著數據的離散程度，如果σσ較小，那麼生成的模板的中心係數較大，而周圍的係數較小，這樣對圖像的平滑效果就不是很明顯;反之，σσ較大，則生成的模板的各個係數相差就不是很大，比較類似均值模板，對圖像的平滑效果比較明顯。

來看下一維高斯分布的概率分布密度圖：

橫軸表示可能得取值x，豎軸表示概率分布密度F(x)，那麼不難理解這樣一個曲線與x軸圍成的圖形面積為1。σσ(標準差)決定了這個圖形的寬度，可以得出這樣的結論：σσ越大，則圖形越寬，尖峰越小，圖形較為平緩;σσ越小，則圖形越窄，越集中，中間部分也就越尖，圖形變化比較劇烈。這其實很好理解，如果sigma也就是標準差越大，則表示該密度分布一定比較分散，由於面積為1，於是尖峰部分減小，寬度越寬(分布越分散);同理，當σσ越小時，說明密度分布較為集中，於是尖峰越尖，寬度越窄!

於是可以得到如下結論：

σσ越大，分布越分散，各部分比重差別不大，於是生成的模板各元素值差別不大，類似於平均模板；

σσ越小，分布越集中，中間部分所佔比重遠遠高於其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值遠遠大於其他元素值，於是自然而然就相當於中間值得點運算。

基於OpenCV的實現

在生成高斯模板好，其簡單的實現和其他的空間濾波器沒有區別，具體代碼如下：

void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像
const static double pi = 3.1415926;
// 根據窗口大小和sigma生成高斯濾波器模板
// 申請一個二維數組，存放生成的高斯模板矩陣
double **templatematrix = new double*[ksize];
for (int i = 0; i < ksize; i++)
templateMatrix[i] = new double[ksize];
int origin = ksize / 2; // 以模板的中心為原點
double x2, y2;
double sum = 0;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
x2 = pow(i - origin, 2);
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
y2 = pow(j - origin, 2);
// 高斯函數前的常數可以不用計算，會在歸一化的過程中給消去
double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
sum += g;
templateMatrix[i][j] = g;
}
}
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
for (int j = 0; j < ksize; j++)
{
templateMatrix[i][j] /= sum;
cout << templateMatrix[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
// 將模板應用到圖像中
int border = ksize / 2;
copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
int channels = dst.channels();
int rows = dst.rows - border;
int cols = dst.cols - border;
for (int i = border; i < rows; i++)
{
for (int j = border; j < cols; j++)
{
double sum[3] = { 0 };
for (int a = -border; a <= border; a++)
{
for (int b = -border; b <= border; b++)
{
if (channels == 1)
{
sum[0] += templateMatrix[border + a][border + b] * dst.at(i + a, j + b);
}
else if (channels == 3)
{
Vec3b rgb = dst.at(i + a, j + b);
auto k = templateMatrix[border + a][border + b];
sum[0] += k * rgb[0];
sum[1] += k * rgb[1];
sum[2] += k * rgb[2];
}
}
}
for (int k = 0; k < channels; k++)
{
if (sum[k] < 0)
sum[k] = 0;
else if (sum[k] > 255)
sum[k] = 255;
}
if (channels == 1)
dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
else if (channels == 3)
{
Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
dst.at(i, j) = rgb;
}
}
}
// 釋放模板數組
for (int i = 0; i < ksize; i++)
delete[] templateMatrix[i];
delete[] templateMatrix;
}
只處理單通道或者三通道圖像，模板生成後，其濾波(卷積過程)就比較簡單了。不過，這樣的高斯濾波過程，其循環運算次數為m×n×ksize2，其中m，n為圖像的尺寸;ksize為高斯濾波器的尺寸。這樣其時間複雜度為O(ksize2)，隨濾波器的模板的尺寸呈平方增長，當高斯濾波器的尺寸較大時，其運算效率是極低的。為了，提高濾波的運算速度，可以將二維的高斯濾波過程分解開來。

分離實現高斯濾波

由於高斯函數的可分離性，尺寸較大的高斯濾波器可以分成兩步進行：首先將圖像在水平(豎直)方向與一維高斯函數進行卷積;然後將卷積後的結果在豎直(水平)方向使用相同的一維高斯函數得到的模板進行卷積運算。具體實現代碼如下：

// 分離的計算
void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像
// 生成一維的高斯濾波模板
double *matrix = new double[ksize];
double sum = 0;
int origin = ksize / 2;
for (int i = 0; i < ksize; i++)
{
// 高斯函數前的常數可以不用計算，會在歸一化的過程中給消去
double g = exp(-(i - origin) * (i - origin) / (2 * sigma * sigma));
sum += g;
matrix[i] = g;
}
// 歸一化
for (int i = 0; i < ksize; i++)
matrix[i] /= sum;
// 將模板應用到圖像中
int border = ksize / 2;
copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
int channels = dst.channels();
int rows = dst.rows - border;
int cols = dst.cols - border;
// 水平方向
for (int i = border; i < rows; i++)
{
for (int j = border; j < cols; j++)
{
double sum[3] = { 0 };
for (int k = -border; k <= border; k++)
{
if (channels == 1)
{
sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i, j + k); // 行不變，列變化；先做水平方向的卷積
}
else if (channels == 3)
{
Vec3b rgb = dst.at(i, j + k);
sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
}
}
for (int k = 0; k < channels; k++)
{
if (sum[k] < 0)
sum[k] = 0;
else if (sum[k] > 255)
sum[k] = 255;
}
if (channels == 1)
dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
else if (channels == 3)
{
Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
dst.at(i, j) = rgb;
}
}
}
// 豎直方向
for (int i = border; i < rows; i++)
{
for (int j = border; j < cols; j++)
{
double sum[3] = { 0 };
for (int k = -border; k <= border; k++)
{
if (channels == 1)
{
sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i + k, j); // 列不變，行變化；豎直方向的卷積
}
else if (channels == 3)
{
Vec3b rgb = dst.at(i + k, j);
sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
}
}
for (int k = 0; k < channels; k++)
{
if (sum[k] < 0)
sum[k] = 0;
else if (sum[k] > 255)
sum[k] = 255;
}
if (channels == 1)
dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]);
else if (channels == 3)
{
Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) };
dst.at(i, j) = rgb;
}
}
}
delete[] matrix;
}
代碼沒有重構較長，不過其實現原理是比較簡單的。首先得到一維高斯函數的模板，在卷積(濾波)的過程中，保持行不變，列變化，在水平方向上做卷積運算;接著在上述得到的結果上，保持列不邊，行變化，在豎直方向上做卷積運算。這樣分解開來，算法的時間複雜度為O(ksize)O(ksize)，運算量和濾波器的模板尺寸呈線性增長。

在OpenCV也有對高斯濾波器的封裝GaussianBlur，其聲明如下：

CV_EXPORTS_W void GaussianBlur( InputArray src, OutputArray dst, Size ksize,
double sigmaX, double sigmaY = 0,
int borderType = BORDER_DEFAULT );

二維高斯函數的標準差在x和y方向上應該分別有一個標準差，在上面的代碼中一直設其在x和y方向的標準是相等的，在OpenCV中的高斯濾波器中，可以在x和y方向上設置不同的標準差。

下圖是自己實現的高斯濾波器和OpenCV中的GaussianBlur的結果對比

上圖是5×5,σ=0.8的高斯濾波器，可以看出兩個實現得到的結果沒有很大的區別。

總結

高斯濾波器是一種線性平滑濾波器，其濾波器的模板是對二維高斯函數離散得到。由於高斯模板的中心值最大，四周逐漸減小，其濾波後的結果相對於均值濾波器來說更好。

高斯濾波器最重要的參數就是高斯分布的標準差σσ，標準差和高斯濾波器的平滑能力有很大的能力，σσ越大，高斯濾波器的頻帶就較寬，對圖像的平滑程度就越好。通過調節σσ參數，可以平衡對圖像的噪聲的抑制和對圖像的模糊。

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