時域測量的高斯響應低通濾波器

　　幅度―頻率特性是電子測量設備的最重要電學指標之一，幅―頻特性的測量方法可分為頻域法和時域法。頻域法的激勵源是標準信號發生器，輸出從直流至高頻的穩幅信號，根據被測設備的頻率響應，定義在阻抗匹配情況下，高頻幅度比低頻平坦部分幅度降低至0.7倍(-3dB)時的頻率為截止頻率，亦即有效帶寬。時域法的激勵源是標準脈衝發生器，輸出標準階躍脈衝，根據被測設備對階躍脈衝的響應時間，從時間/頻率變換公式計算有效帶寬。顯然，頻域法最準確，但是對測量儀器要求較高，測量過程複雜，測量時間較長。時域法的標準階躍脈衝源容易獲得，測量過程簡單，測量時間較短，但是測量準確度與階躍脈衝的特性密切相關，準確度要比頻域法稍低。對於帶有顯示屏的電子測量設備，例如電子示波器，採用時域法測量有效帶寬，具有直觀、簡便的優點。對於批量生產的電子設備，採用時域法能夠顯著縮短有效帶寬測量時間。

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　　時域測量法的階躍脈衝發生器

　　時域法測量電子設備的有效帶寬，關鍵儀器是標準階躍脈衝發生器。當前隧道二極體能夠產生25ps上升時間和1V幅度的階躍脈衝，雪崩電晶體能夠產生1ns上升時間和大於10V的階躍脈衝，高頻電晶體亦能夠輸出100ps上升時間和1至10V的階躍脈衝，但是這些階躍脈衝都帶有寄生振蕩，引起上升邊出現振鈴、欠衝、過衝而偏離標準階躍波形。

　　根據時域―頻域變換原理可知，一個高斯特性的電學系統對階躍脈衝的時間頻率關係可用下式表達：

　　式中tr是階躍脈衝幅度10%至90%的上升時間，ΔF是-dB的有效帶寬。

　　實際上，理想的高斯特性很難實現，對於接近高斯特性的電學特性來說，時間/頻率關係可用以下近似表達：

　　式(2)的時域和頻域響應特性圖1所示，圖中取tr=1ns，從圖1a的近似高斯階躍脈衝的1ns上升時間，可獲得圖1b的350MHz的有效帶寬。式(2)最初在60年代由著名電子示波器供應商泰克(TEK)公司提出，以後得到業界的公認，成為事實上的工業標準，對基於模擬實時示波器的有效帶寬測量提供簡單、準確的時間/頻率換算關係。對於近似高斯響應特性的級聯繫統，它的輸出上升時間tr(out)等於各級上升時間平方之和的二次開方值，簡稱「根方和」值，如下式所示：

　　式(3)同樣非常實用，例如一個高斯響應的階躍脈衝tr(1)經一個高斯響應的放大器tr(2)放大後，獲得輸出脈衝響應為tr(out)。當輸入信號的tr(1)=1ns，實際測量的輸出信號tr(out)=1.41ns，則根據式(3)求得tr(2)=1ns，即被測放大器的上升時間為1ns，有效帶寬為350MHz。

　　高斯響應的階躍脈衝激勵信號

　　測量儀器供應商都力求產品具有高斯響應的頻率特性，特別是波形顯示儀器和頻譜分析儀等實驗室和生產線常用的時域/頻域儀器，最低限度應該具有近似高斯響應特性。可以設想，如果測量儀器的高頻段幅值起伏而不是平滑下降，結果是測量結果失真，表現為波形的過渡時間出現過衝和振鈴，頻譜內出現雜散諧波。近年來，移動通信和光纖網絡使用高速脈衝調製的射頻/微波和光波，要求從元件、部件至子系統、系統保持良好的頻率響應，以免對傳輸鏈路上的脈衝流引入瞬變過程失真、多次反射和高頻噪聲等雜散幹擾，更力求接近高斯響應。

　　時域法測量電子設備的幅度―頻率特性的關鍵是，保持測量用的標準階躍脈衝源具有高斯響應。對低速脈衝來說，高斯響應比較容易實現，而對高速脈衝來說，高斯響應往往不能達到。原因在於，階躍脈衝源所用的元件、器件、布線、連接器等在高頻下都變成分布參數，雜散效應不可避免，使階躍脈衝偏離高斯響應特性。針對電子設備的電學特性測量來說，最有效和可靠的修正非高斯響應的方法是，在階躍脈衝源與電子示波器之間插入一個阻抗匹配的低通濾波器，將非高斯響應的上升邊修正成為近似高斯響應的上升邊。這種低通的脈衝上升時間濾波器，亦稱瞬變時間轉換器或高斯低通濾波器。

　　根據信號處理原理，高斯低通濾波器的插入相當在數學上執行輸入信號與高斯函數的卷積，使輸入信號變換成沒有過衝、上升時間快速、群延遲最小的近高斯響應的階躍脈衝。高斯濾波器的基本原理和設計已有大量專著和文獻可供參考，本文限於篇幅只引用頻率響應的重要結果。高斯低通濾波器的頻率平滑滾降特性可用下式表達：

　　式中H是頻率的幅值，fo是-3dB的截止頻率。式(4)表明頻率幅值與頻率平方成負指數關係，如用dB表達，式(4)可簡化為：

　　從式(5)可知，高頻低通濾波器在fo頻率下衰減3dB，在2fo頻率下衰減12dB，其餘類推。根據式(5)可獲得圖2a所示的高斯低通濾波器頻率特性曲線G-10，圖2b是上升時間tr=1ns和幅值V=1V的階躍高斯脈衝的時間響應波形。

　　圖2的G-10採用高斯低通濾波器設計中最通用的10階L-C型電路，它非常接近無限階的理論值。為了使高斯低通濾波器更適合高速頻率響應，特別是測量鏈路的阻抗匹配條件，PSPL公司還在高斯低通濾波器設計的基礎上，根據實踐經驗作了修正，將9階高斯低通濾波器的阻抗匹配達到最佳，圖2中用PS-9表示。

　　眾所周知，除高斯濾波器之外，濾波器的品種很多，各有特點，各有用場，例如貝賽爾、巴特沃思、切比雪夫等，它們分別具有最平滑延遲、最平滑幅值、等幅值起伏的不同特徵。圖2的BT-4就是4階的修正貝賽爾低通濾波器，它的頻率特性和階躍特性都與高斯低通濾波器G-10的接近。

　　低通高斯響應濾波器的實現

　　在時域―頻域變換過程中濾波器居於關鍵的元件，無論低通、帶通、高通濾波器都有多種不同的運算方法和實現方法。上文提及的高斯、貝賽爾、巴特沃思和切比雪夫濾波器等等，都是電子測量常用的著名成果。至於實現方法則有基於運算、無源元件、有源元件的硬體法，以及基於邏輯運算的軟體法。

　　當前，測量儀器使用最多的還是硬體濾波器，特別是無源元件構成的濾波器，由集中或分布參數R、C、L多級級聯的硬體濾波器的帶寬可達到10GHz以上。由運算放大器和R、C、L反饋迴路構成的有源濾波器，受到運算放大器頻率響應不夠寬的限制，有源濾波器的帶寬只達到10MHz以下的音/視頻。軟體濾波器只能應用在模擬/數字轉換後的輸入信號，由數位訊號處理器執行。根據時域―頻域傅立葉變換獲得的頻譜，如果不符合高斯響應的頻譜時，利用數字運算程序，不難將較低的頻率分量提升，將較高的頻率分量壓縮，獲得「標稱」化的高斯響應波形。這種軟體濾波器廣泛應用在數字示波器和頻譜分析儀的後段數字處理。它們屬於虛擬濾波器，不適用作為輸入前端的硬體低通濾波器使用。

　　低通上升時間濾波器的原理並不複雜，但在製作上需要實踐經驗。在國外硬體濾波器由專業公司生產，作為精密元件供應，甚至測量儀器公司都向用戶推薦它們的產品。在這類專業產品供應商中最具代表性的當屬皮秒脈衝實驗室公司(PSPL)，它生產的各類濾波器獲得美國標準技術研究所的認證。PSPL公司高斯響應的低通濾波器產品的時域特性如表1所示。