Robert Keim
本文介紹了濾波的概念並詳細說明了電阻電容（RC）低通濾波器的用途和特性。
時域和頻域
當你看到示波器上的電信號時，你會看到一條線，它代表電壓隨時間的變化。在任何特定時刻，信號只有一個電壓值。你在示波器上看到的是信號的時域表示。一個典型的示波器跟蹤直接且直觀，但它也有一定的限制性，因為它不直接顯示信號的頻率內容。與時域表示法相反，其中一個時刻僅對應於一個電壓值，頻域表示法（也稱為頻譜）通過識別同時存在的各種頻率分量來傳遞關於信號的信息。
正弦波（頂部）和方波（底部）的時域表示。
正弦波（頂部）和方波（底部）的頻域表示。
什麼是濾波器？
濾波器是一種電路，它去除或「過濾掉」指定頻率範圍的分量。換句話說，它將信號的頻譜分離為將要通過的頻率分量和將被阻塞的頻率分量。如果你對頻域分析沒有太多經驗，你可能仍然不確定這些頻率分量是什麼以及它們如何在不能同時具有多個電壓值的信號中共存。讓我們看一個有助于澄清這個概念的簡短例子。
假設我們有一個由完美的5 kHz正弦波組成的音頻信號。我們知道時域中的正弦波是什麼樣的，在頻域中我們只能看到5 kHz的頻率「尖峰」。假設我們激活一個500 kHz振蕩器，它將高頻噪聲引入音頻信號。在示波器上看到的信號仍然只是一個電壓序列，每個時刻有一個值，但信號看起來會有所不同，因為它的時域變化必須同時反映5 kHz正弦波和高頻噪音波動。
然而，在頻域中，正弦波和噪聲是同時存在於這一信號中的獨立頻率分量。正弦波和噪聲佔據了信號頻域表示的不同部分（如下圖所示），這意味著我們可以通過將信號引導通過低頻並阻擋高頻的電路來過濾噪聲。
濾波器的類型
濾波器可以放在與濾波器頻率響應的一般特徵相對應的廣泛類別中。如果濾波器通過低頻並阻塞高頻，則稱為低通濾波器。如果它阻塞低頻並通過高頻，它就是一個高通濾波器。還有僅通過相對較窄頻率範圍的帶通濾波器，以及僅阻塞相對較窄頻率範圍的帶阻濾波器。
濾波器也可以根據用於實現電路的組件類型進行分類。無源濾波器使用電阻器、電容器和電感器；這些元件不提供放大，因此無源濾波器只能維持或減小輸入信號的振幅。另一方面，有源濾波器既可以過濾信號又可以應用增益，因為它包括有源元件，如電晶體或運算放大器。
基於流行的Sallen-Key拓撲結構的有源低通濾波器
本文探討了無源低通濾波器的分析和設計。這些電路在各種系統和應用中發揮著重要作用。
RC低通濾波器
要創建一個無源低通濾波器，我們需要將電阻元件與無功元件組合在一起。換句話說，我們需要一個由電阻器和電容器或電感器組成的電路。從理論上講，電阻電感（RL）低通拓撲在濾波能力方面與電阻電容（RC）低通拓撲相當。但實際上，電阻電容版本更為常見，因此本文的其餘部分將重點介紹RC低通濾波器。
RC低通濾波器
如圖所示，RC低通響應是通過將一個電阻與信號通路串聯，電容器與負載並聯而產生的。在圖中，負載是一個單一元件，但在實際電路中，負載可能更複雜，例如模擬到數字轉換器、放大器或用於測量濾波器響應的示波器的輸入級。如果我們認識到電阻器和電容器形成與頻率相關的分壓器，就可以直觀地分析RC低通拓撲的濾波作用。
RC低通濾波器重新繪製，使其看起來像分壓器
當輸入信號的頻率較低時，電容器的阻抗相對於電阻器的阻抗高；因此，大部分輸入電壓在電容器上（以及負載兩端，與電容器並聯）下降。當輸入頻率較高時，電容器的阻抗相對於電阻器的阻抗較低，這意味著電阻器上的電壓降低，並且傳遞到負載的電壓就越小。因此，低頻通過並且高頻被阻塞。
RC低通功能的這種定性解釋是重要的第一步，但是當我們需要實際設計電路時它並不是很有用，因為術語「高頻」和「低頻」非常模糊。工程師需要創建通過和阻塞特定頻率的電路。例如，在上述音頻系統中，我們希望保留5kHz信號並抑制500kHz信號。這意味著我們需要一個從通過到阻塞的5kHz到500kHz的濾波器。
截止頻率
濾波器不會引起顯著衰減的頻率範圍稱為通帶，濾波器確實導致顯著衰減的頻率範圍稱為阻帶。模擬濾波器，例如RC低通濾波器，總是從通帶逐漸過渡到阻帶。這意味著無法識別濾波器停止傳遞信號並開始阻塞信號的一個頻率。然而，工程師需要一種方便簡潔地總結濾波器頻率響應的方法，這就是截止頻率概念發揮作用的地方。
當你查看RC濾波器的頻率響應圖時，你會注意到術語「截止頻率」不是很準確。信號光譜圖像被「切割」成兩半，其中一個被保留而另一個不適用而被丟棄，因為衰減隨著頻率從截止點以下移動到截止點以上而逐漸增加。RC低通濾波器的截止頻率實際上是輸入信號振幅降低3dB的頻率（選擇該值是因為振幅降低3dB對應於功率降低50％）。因此，截止頻率也稱為-3 dB頻率，實際上該名稱更準確且信息量更大。術語帶寬是指濾波器通帶的寬度，在低通濾波器的情況下，帶寬等於-3 dB頻率（如下圖所示）。
該圖表示RC低通濾波器頻率響應的一般特性，帶寬等於-3 dB頻率。
如上所述，RC濾波器的低通特性是由電阻器的頻率無關阻抗與電容器的頻率相關阻抗之間的相互作用引起的。為了確定濾波器頻率響應的細節，我們需要在數學上分析電阻（R）和電容（C）之間的關係，我們還可以操縱這些值，以設計滿足精確規格的濾波器。RC低通濾波器的截止頻率（f C）計算如下：
我們來看一個簡單的設計實例。電容值比電阻值更具限制性，因此我們將從常見的電容值（例如10 nF）開始，然後將使用該公式來確定所需的電阻值。目標是設計一個濾波器，它將保留5 kHz音頻波形並抑制500 kHz噪聲波形。我們將嘗試100 kHz的截止頻率，稍後在文章中我們將更仔細地分析此濾波器對兩個頻率分量的影響。
因此，160Ω電阻與10 nF電容相結合，將為我們提供一個非常接近所需頻率響應的濾波器。
計算濾波器響應
我們可以通過使用典型分壓器計算的頻率相關版本來計算低通濾波器的理論行為。電阻分壓器的輸出表示如下：
RC濾波器使用等效結構，但是我們有一個電容器代替R 2。首先，我們用電容器的電抗（X C）代替R 2（在分子中）。接下來，我們需要計算總阻抗的大小並將其放在分母中。因此，我們有
電容器的電抗表示與電流的相反量，但與電阻不同，相反量取決於通過電容器的信號頻率。因此，我們必須計算特定頻率的電抗，我們用於此的等式如下：
在上面的設計實例中，R≈160Ω且C = 10nF。我們假設V IN的振幅是1 V，這樣我們就可以簡單地從計算中去掉V IN。首先讓我們以正弦波頻率計算V OUT的振幅：
正弦波振幅基本不變。這很好，因為我們的目的是在抑制噪聲的同時保持正弦波。這個結果並不令人驚訝，因為我們選擇的截止頻率（100 kHz）遠高於正弦波頻率（5 kHz）。現在讓我們看看濾波器如何成功衰減噪聲分量。
噪聲振幅僅為其原始值的20％左右。
可視化濾波器響應
評估濾波器對信號影響的最方便方法是檢查濾波器頻率響應圖。這些圖形通常稱為波特圖，在縱軸上具有振幅（以分貝為單位），在橫軸上具有頻率；橫軸通常具有對數標度，使得1Hz和10Hz之間的物理距離與10Hz和100Hz之間、100Hz和1kHz之間的物理距離相同等等。這種配置使我們能夠快速準確地評估濾波器在很大頻率範圍內的行為。
頻率響應圖的例子
曲線上的每個點表示如果輸入信號的振幅為1 V，頻率等於橫軸上的相應值，即輸出信號將具有的振幅。例如，當輸入頻率為1 MHz時，輸出振幅（假設輸入振幅為1 V）將為0.1 V（因為-20 dB對應於十倍減小係數）。當你花費更多時間使用濾波器電路時，此頻率響應曲線的一般形狀將變得非常熟悉。通帶中的曲線幾乎完全平坦，然後隨著輸入頻率接近截止頻率，它開始快速下降。最終，衰減的變化率（稱為滾降）穩定在20 dB / decade，即輸入頻率每增加十倍，輸出信號振幅降低20 dB。
評估低通濾波器性能
如果我們仔細繪製我們在本文前面設計的濾波器的頻率響應，我們將看到5 kHz時的振幅響應基本上是0 dB（即幾乎為零衰減），500 kHz時的振幅響應約為-14 dB（對應於0.2的增益）。這些值與我們在上一節中執行的計算結果一致。
由於RC濾波器總是從通帶到阻帶逐漸過渡，並且因為衰減永遠不會達到無窮大，我們無法設計出「完美」的濾波器，即對正弦波沒有影響並完全消除噪聲的濾波器。相反，我們總是需要權衡。如果我們將截止頻率移近5 kHz，我們將有更多的噪聲衰減，但我們想要發送到揚聲器的正弦波衰減更多。如果我們將截止頻率移近500 kHz，正弦波頻率的衰減會更小，噪聲頻率的衰減也會更小。
低通濾波器相移
到目前為止，我們已經討論了濾波器修改信號中各種頻率分量振幅的方式。然而，除了振幅效應之外，電抗性電路元件總是引入相移。相位的概念是指周期內特定時刻的周期信號的值。因此，當我們說電路引起相移時，我們的意思是它會在輸入信號和輸出信號之間產生一個偏差：輸入和輸出信號不再在同一時刻開始和結束它們的周期。相移值（例如45°或90°）表示產生了多少偏差。
電路中的每個電抗元件都會引入90°的相移，但這種相移不會同時發生。輸出信號的相位與輸出信號的振幅一樣，隨著輸入頻率的增加而逐漸變化。在RC低通濾波器中，我們有一個電抗元件（電容器），因此電路最終會引入90°的相移。
與振幅響應一樣，通過檢查橫軸表示對數頻率的曲線圖，可以最容易地評估相位響應。下面的描述傳達了一般模式，然後你可以通過檢查繪圖來填寫詳細信息。相移最初為0°；它逐漸增加，直到它在截止頻率達到45°；在這部分響應期間，變化率正在增加；在截止頻率之後，相移繼續增加，但變化率正在降低；隨著相移漸近接近90°，變化率變得非常小。
實線是振幅響應，虛線是相位響應。注意，在截止頻率為100 kHz下的相移為45°。
二階低通濾波器
到目前為止，我們假設RC低通濾波器由一個電阻器和一個電容器組成。此配置是一階濾波器。無源濾波器的「階數」由電路中存在的無功元件（即電容器或電感器）的數量決定。高階濾波器具有更多的無功元件，這導致更多的相移和更陡的滾降。第二個特徵是增加濾波器階數的主要動機。
通過向濾波器添加一個無功元件。例如，從一階到二階或二階到三階，我們將最大滾降增加20 dB /十倍。更陡的滾降轉換為從低衰減到高衰減的更快過渡，並且當信號不具有將期望頻率分量與噪聲分量分離的寬頻帶時，這可以導致性能提高。二階濾波器通常圍繞由電感器和電容器組成的諧振電路構建（這種拓撲結構稱為「RLC」，用於電阻器—電感器—電容器）。但是，也可以創建二階RC濾波器。如下圖所示，我們需要做的就是級聯兩個一階RC濾波器。
雖然這種拓撲肯定會產生二階響應，但它沒有被廣泛使用，頻率響應通常低於二階有源濾波器或二階RLC濾波器。
二階RC濾波器的頻率響應
我們可以嘗試創建一個二階RC低通濾波器，根據所需的截止頻率設計一階濾波器，然後將這兩個一階級串聯起來。這確實導致濾波器具有類似的總頻率響應，最大滾降為40 dB / decade而不是20 dB / decade。但如果我們更仔細地觀察響應，我們會發現-3 dB頻率已經降低。二階RC濾波器不能按預期工作，因為兩個階段不是獨立的，我們不能簡單地將這兩個階段連接在一起，並將電路分析為一階低通濾波器，然後再分析為相同的一階低通濾波器。
此外，即使我們在兩級之間插入緩衝器，使得第一RC級和第二RC級可以用作獨立濾波器，原始截止頻率處的衰減將是6dB而不是3dB。這是因為兩個階段獨立工作。第一個濾波器在截止頻率處具有3 dB的衰減，而第二個濾波器增加了另外3 dB的衰減。
二階RC低通濾波器的基本限制是設計人員無法通過調整濾波器的Q因子來微調從通帶到阻帶的轉換；此參數表示頻率響應的阻尼程度。如果級聯兩個相同的RC低通濾波器，則整體傳遞函數對應於二階響應，但Q因子始終為0.5。當Q = 0.5時，濾波器處於過阻尼的邊界，這導致頻率響應在過渡區域中「下降」。二階有源濾波器和二階共振濾波器沒有這個限制；設計人員可以控制Q因子，從而微調過渡區的頻率響應。
總結
所有電信號都包含所需頻率分量和不需要的頻率分量的混合。不期望的頻率分量通常由噪聲和幹擾引起，並且在某些情況下它們將對系統的性能產生負面影響；濾波器是以不同方式對信號頻譜的不同部分作出反應的電路。
低通濾波器旨在通過低頻分量並阻塞高頻分量；低通濾波器的截止頻率表示濾波器從低衰減轉變為顯著衰減的頻率區域；RC低通濾波器的輸出電壓可以通過將電路視為由（頻率無關）電阻和（頻率相關）電抗組成的分壓器來計算；振幅（以dB為單位，在縱軸上）與對數頻率（以赫茲為單位，在橫軸上）的關係圖是檢查濾波器理論行為的方便有效的方法。
你還可以使用相位與對數頻率的關係圖來確定將應用於輸入信號的相移量；二階濾波器提供更陡的滾降；當信號不能在所需頻率分量和不需要的頻率分量之間提供寬帶分離時，這種二階響應是有用的；可以通過構建兩個相同的一階RC低通濾波器，然後將一個輸出連接到另一個的輸入來創建二階RC低通濾波器，整體-3 dB頻率將低於預期。