對極幾何的基礎矩陣和本質矩陣2

2021-01-14 CV有道


上一篇文章介紹了基礎矩陣F和本質矩陣E理論推導，下面主要介紹如何求解Ｆ矩陣。F的自由度為5，理論上5對點就可以求解，但是考慮到非線性的關係和約束問題，並且具有尺度不變性， 常用的是8點法。

根據方程：

展開成Af=0 的形式

每一對點一個方程，8對點8個方程：

A矩陣Nx9, N=8 如果滿秩，有唯一不為零的解。當N>8，A為超定方程，需要最小化二乘法，求最優解。
這裡的解法和單應性矩陣求法一樣，SVD分解。但是求的結果F^不滿足秩為2的約束，因而需要求一個近似的F，使得

可以把F^ 通過SVD分解,令奇異矩陣E的第三個特徵值為0，然後再反求出F矩陣。

雖然這樣也能求出F矩陣，但是誤差有可能較大，主要是由於匹配的點的數值可能相差比較大，因而可以先對樣本點做歸一化，然後求解，這種解法叫做Normalized Eight-Point Algorithm歸一化8點法。
具體做法，就是先計算每組像素點的相似變換矩陣（包含平移和縮放）。

然後所有的像素分別減去u0和v0，也就是平移到（0， 0）為中心的坐標系然後利用SVD分解，求得Fq, 最後轉換為原始的F：

思考：
實際情況我們會通過特徵點匹配出很多點對，會存在異常點和噪聲數據，常用的方法是通過ＲANSAC方法，隨機選擇８對不共線的點，然後通過上述的８點法，計算出Ｆ矩陣，然後通過設定閾值，計算內點個數，當內點個數滿足一定條件時，就可以把所有的內點，通過最小二次法優化求解，作為最後的結果。那麼距離誤差用什麼來衡量呢，根據多視覺立體幾何一書中可以採用Sampson距離。



下一篇會講解如何求解E，並對E進行分解R和T。





參考：


Multiple View Geometry in Computer Vision


https://web.stanford.edu/class/cs231a/course_notes/03-epipolar-geometry.pdf
http://vision.stanford.edu/teaching/cs231a_autumn1112/lecture/lecture9_epipolar_geometry_cs231a.pdf


相關焦點

  • 對極幾何的基礎矩陣和本質矩陣之實戰
    S_(0, 0) = s; S_(1, 1) = s; S_(2, 2) = 0; E = U_ * S_* V_.transpose(); }根據E矩陣分解相機的姿態：首先獲得4中可能的結果組合 void decompose_from_essential
  • 線性代數基礎-矩陣
    矩陣A稱為2行3列的矩陣.將A矩陣的行列交換獲得的矩陣稱為A矩陣的轉置，如下:     矩陣加法: 第一點矩陣的形狀都要一樣為m*n形的才可相加, 計算方法就是對應元素相加,結果放回原來的位置即可.    矩陣減法同加法, 對應元素相減.    矩陣乘法: 必須是m*n與n*a的形式,即第一個矩陣的列與第二個矩陣的行相同才可以相乘.乘積為m*a形的矩陣. 計算方法如下:
  • ML基礎:協方差矩陣!
    在翻譯sklearn文檔 2.無監督學習部分過程中，發現協方差矩陣幾乎貫穿整個章節，但sklearn指導手冊把協方差部分放在了這一章節偏後的部分，作為機器學習一個基礎概念，在這篇文章中，想把協方差矩陣的相關知識以及主要應用。統計學中常用平均值，方差，標準差等描述數據。
  • 矩陣分解 (乘法篇)
    LDU分解在LU的基礎上， 如果我們再進一步，引入對角矩陣（Diagonal）D， 那麼LU分解就變成了LDU分解。 是不是很直觀？這也很容易去解釋， 為什麼LU分解可以寫成對角線全1的三角矩陣， 因為可以提取出一個對角矩陣， 然後乘到左邊下三角矩陣或者右邊上三角矩陣去。 因此， 從本質上來說LDU分解和LU分解沒有差別。
  • 矩陣與矩陣乘積簡介
    例如，$ A_{2, 1}$表示第一行和第二列中的元素。按照慣例，第一個索引用於行，第二個索引用於列。例如，上面提到的例子位於矩陣A的第二行和第一列，因此它被表示為$A_{2, 1}$。矩陣分量可以寫如下：圖1：矩陣是二維數組，行數通常用m表示，列數用n表示。數組的形狀給出了每個維度中元素的數量，如圖1所示。
  • 齊次矩陣和齊次坐標
    在機器人及自動駕駛中，經常用齊次變換矩陣將旋轉和平移進行統一。「齊次坐標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。」—— F.S. Hill, JR齊次坐標就是將一個原本n維的向量用一個n+1維的向量來表示，是指一個用於投影幾何裡的坐標系統，如同用於歐氏幾何裡的笛卡兒坐標一般。
  • 關聯矩陣、迴路矩陣和割集矩陣的關係
    對於同一個電路，若各支路，節點的編號及方向均相同時，其列寫出的關聯矩陣，迴路矩陣和割集矩陣之間存在著一定的聯繫。對於圖7-5-1所示的有向圖，選支路1、2、3為樹支，作單樹支割集如圖所示，則可寫出其基本迴路矩陣與基本割集矩陣如下：
  • 拋棄複雜的運算來理解「矩陣乘法」和「行列式」
    這是《機器學習中的數學基礎》系列的第4篇。上一篇我們知道了，矩陣其實就是一個線性變換，矩陣的各列就是由原來的基向量變換而來。在此基礎上，假如我們把兩個矩陣放在一起，也就是說，讓兩個矩陣做乘法，它又有什麼含義呢？矩陣乘法我們還是先從矩陣和向量的乘法看起：矩陣乘以一個向量，得到一個新向量。如果我們把新向量再乘以一個矩陣呢？
  • 光子矩陣的基本概念
    光子並不是構成萬物的本質，只是意識的本質，構成萬物的本質其實還是原子，但是只有原子是無法產生意識的。單純解釋矩陣這個詞的話，你身邊的空氣、水、火焰、桌子、椅子，都是以各種不同的元素，以規律的數學模式模型，組合而成的。這些分子結構就是一種矩陣羅列形式，當然也可以輕易的轉化成數學和化學方程式。
  • 對角矩陣、單位矩陣、數量矩陣
    各位晚上好，今天分享的內容是一個特殊矩陣——對角矩陣，以及由此而衍生出的單位矩陣和數量矩陣。
  • 2.4——矩陣的行列式與伴隨矩陣
    在很多教材也先講矩陣，再講矩陣的行列式。此外，由於行列式的每個元素對應唯一的一個代數餘子式，因此，定義了伴隨矩陣，伴隨矩陣與原矩陣及其行列式有密切的關係，為逆矩陣的討論奠定了重要的基礎。知識要點：方陣行列式的性質
  • 天元傑出講堂 | 隨機矩陣與SYK模型
    報告題目：隨機矩陣與SYK模型報告人：田剛 院士報告時間：10月23日下午1：30報告地點：數學樓二樓報告廳
  • No.3 矩陣乘法
    學生成績表如下姓名數學語文英語物理李大強95806590許小美78899060劉曉麗92858967抽象出數字，就是一個3 ×4的矩陣由於某種原因，老師想得到所有成績都翻倍的成績，用矩陣乘以數字2就可以了，也就是一個數2乘以矩陣A，即
  • 行列式與矩陣練習題
    行列值的本質是一個算式，要掌握二三階行列式的計算，高階行列式的計算，餘子式，代數餘子式。
  • (加餐)歐拉角及矩陣旋轉
    (2 本文適合有一定雷達及信號與系統知識基礎的讀者)鄉親們大家好，今天的這期內容就像有錢人的生活，比較枯燥，不過能完整讀下來也確能有所收穫
  • 理解矩陣背後的現實意義
    比如說，在全國一般工科院系教學中應用最廣泛的同濟線性代數教材（現在到了第四版），一上來就介紹逆序數這個「前無古人，後無來者」的古怪概念，然後用逆序數給出行列式的一個極不直觀的定義，接著是一些簡直犯傻的行列式性質和習題——把這行乘一個係數加到另一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個熱鬧，可就是壓根看不出這個東西有嘛用。
  • 機器學習 線性代數基礎 | 1.4 矩陣乘向量的新視角:變換基底
    我們即將步入這一章的尾聲，在本章前面的三個小節中，我們學習了矩陣和向量的表示方法以及加法、乘法等基本運算的規則，並能夠熟練利用Python語言工具正確的對其進行描述和表示。但是顯然我們不能僅僅滿足於此，那麼在這一小節裡，我們一起回過頭來靜靜的思考這樣一個問題：矩陣A和列向量x的乘法運算Ax有沒有其他更深層次的幾何含義呢？
  • 什麼叫矩陣式大燈,矩陣led和led區別
    矩陣式大燈其實是LED大燈的升級版，燈體內部由多個LED燈按照長方形陣列排列布置。矩陣式大燈可以控制每顆LED燈珠單體進行照明，從而實現對照明角度和範圍的精確控制，是目前最為先進的前大燈系統之一。
  • 正定矩陣與半正定矩陣
    今天學習兩個知識點，一個是Hessian矩陣，一個是正定與半正定。1. 什麼是Hessian矩陣？2. 正定矩陣與半正定矩陣A.性質:正定矩陣的行列式恆為正；實對稱矩陣A正定若且唯若A與單位矩陣合同；（合同矩陣：設A,B是兩個n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得
  • 線性方程組(矩陣)的直觀幾何圖形是什麼?
    當我們將線性方程組表示矩陣的形式Ax=b, 該方程組就蘊藏著兩張圖像：行圖和列圖。這兩張圖能提供給我們求解方程組的兩種視角。我們首先將Ax=b劃分為兩類問題：1、已知Ax, 如何理解b;2、已知A和b，如何求解x。可以看到2是我們要解決的問題，問題1是解決問題2的鋪墊。x=[x1 x2 ……]'，b=[b1 b2 ……]',x和b均為列向量。