這是《機器學習中的數學基礎》系列的第4篇。
上一篇我們知道了，矩陣其實就是一個線性變換，矩陣的各列就是由原來的基向量變換而來。在此基礎上，假如我們把兩個矩陣放在一起，也就是說，讓兩個矩陣做乘法，它又有什麼含義呢？
矩陣乘法我們還是先從矩陣和向量的乘法看起：
矩陣乘以一個向量，得到一個新向量。如果我們把新向量再乘以一個矩陣呢？又得到一個向量：
把（1）式代入（2）式，就得到：
我們已經知道矩陣是一個線性變換，從上面的式子可以看出，兩個矩陣相乘，就相當於連續進行兩個線性變換，作用還是將一個舊向量變成一個新向量。那我們不禁會想，肯定存在一個複合矩陣，它的效果等同於兩個矩陣相乘。用公式表示就是：
很明顯，我們要找的這個複合矩陣，就是兩個矩陣的乘積：
思路有了，那複合矩陣到底怎麼算呢？別急，我們還是從基的角度去解決這個問題。
上式中的矩陣[a,b;c,d]就是由原來的基向量i和j變換而來，我們把它看做新的基（a,c）和（b,d）。那麼新的基再乘以矩陣[i,j;k,l]是什麼含義呢？就相當於把新的基分別再做了一次線性變換。因此，複合矩陣就相當於：
複合矩陣的第一列，就是矩陣[i,j;k,l]與向量（a,c）的乘積；複合矩陣的第二列，就是矩陣[i,j;k,l]與向量（b,d）的乘積。把上式展開，得到複合矩陣為：
這就是矩陣乘法的定義，我們從另一個角度去理解了它的內涵。
行列式接下來，我們來看矩陣的行列式在幾何上的意義。這裡先放結論，行列式就是線性變換前後，面積的縮放倍數。到底是怎麼回事呢？我們先看下圖：
如圖，是我們的i、j基向量所圍成的面積。現在讓它乘以一個矩陣[2,0;0,2]，看看有什麼變化：
從上圖可以很容易看出，在矩陣的作用下，i變為原來的2倍，j也變為原來的2倍，因此新的基向量圍成的面積是原來的4倍。
所以，矩陣[2,0;0,2]的行列式就等於4.
哦，或許你還是有點不明白。沒關係，我們把它一般化，看看行列式的公式到底怎麼來的。二維矩陣行列式的公式如下：
我們用det（）來表示矩陣的行列式，那上面的公式是怎麼得出的呢？我們來畫個圖：
如圖，OA就是新的基向量（a,c），而OC就是基向量（b,d）。那麼平行四邊形OABC就是新的兩個基向量圍成的面積，如何計算這個面積呢？我們可以把它補成一個長方形，如下圖：
不難看出，平行四邊形的面積等於長方形的面積減去邊角的面積。其中，長方形的面積為(a+b)(c+d)。邊角的面積由4個三角形和2個小長方形構成，它們的面積是：ac+bd+2bc。然後用長方形的面積減去邊角的面積，就是平行四邊形的面積：
(a+b)(c+d)-(ac+bd+2bc)=ac+bc+ad+bd-ac-bd-2bc=ad-bc
而ad-bc正是上面公式最後的結果。
今天分享的這些，你都明白了嗎？歡迎留言討論。