矩陣的初等變換與行列式的初等變換有兩個共同點，一是初等變換的形式相同；二是都是源於線性方程組。不同點：行列式是一組排列有序的數據根據一定的運算法則得出的一個數值，而矩陣就是一組排列有序的數據。
在矩陣中，非常重要的一點就是初等變換。本文將對矩陣的初等變換進行詳盡地闡述。
1.行列式和矩陣的區別
既然行列式和矩陣都是源於線性方程組，不妨以兩個線性方程組為例進行說明。
方程組（1）的變量係數可以組成2*3的矩陣，但是不能形成行列式；方程組（2）的變量係數可以組成2*2的矩陣，也可以形成2階行列式。
這說明矩陣不一定要求行數等於列數，但行列式必須要求行數等於列數。這是矩陣和行列式的一個重要區別。
矩陣和行列式的另外一個重要區別是：行列式與其轉置的行列式相等；但矩陣與其轉置矩陣不相等。以2*2矩陣和2階行列式進行說明。
但是從矩陣和行列式的轉置，可以得到一個應用頻率非常高的一個等式：矩陣的行列式等於矩陣的轉置矩陣的行列式。用公式表示如下：
2.單位矩陣
在介紹矩陣的初等變換前，必須提及另一個概念——單位矩陣。
單位矩陣有三個特點：一、矩陣的行數等於列數，即單位矩陣是n*n的矩陣；二、矩陣的主對角線元素全為1；三、除主對角線元素外，矩陣中其它位置的元素全為0。
n*n的單位矩陣如下表示：
3.矩陣的乘法和加法
兩個行列式相乘或相加，其實質就是兩個數相乘或相加。
而矩陣由於是一組排列有序的數據，因此相較於行列式，矩陣的乘法和加法必然要更加複雜。
兩個矩陣相加的前提是：兩個矩陣的行數、列數相等。在滿足此前提下，對應位置的元素相加。以兩個2*3的矩陣相加為例進行說明。
顯而易見的是，矩陣相加滿足交換率：即A+B=B+A。
對於兩個矩陣A*B，A*B的前提是：A的列數等於B的行數。相乘後形成的新矩陣的行數等於A的行數，列數等於B的列數。可以這樣簡記兩個矩陣相乘：「列行相等可相乘，結果維度是行列」。兩個矩陣相乘實例如下：
不難發現，兩個矩陣相乘不滿足交換率：即A*B不等於B*A。
4.矩陣的初等變換
同行列式一樣，矩陣也有三種初等變換。分別為兩行（或兩列）互換位置；某行（或某列）乘以非零常數k；某行（或某列）的k倍加至另一行（或另一列）。
下方顯示了3*3矩陣的三種初等變換。
一定要注意的是，在矩陣的變換中，用的是箭頭，而不是等於，如上方綠色部分所示。這是與行列式的變化不同的一點。
5.初等變換矩陣
初等變換矩陣是另外一個極其重要的概念。
所謂的初等變換矩陣就是單位矩陣經過一次初等變換後形成的新矩陣！以3*3單位矩陣為例進行說明。
對於初等變換矩陣，一定要記住是單位矩陣經過一次初等變換後形成的新矩陣！大家不妨判斷下方三個矩陣哪些是初等變換矩陣？
6.如何描述矩陣的變換過程？
在本文最後，小編要講解一個非常重要的考點，就是如何用數學公式描述一個矩陣A變換到矩陣B的過程。
請看下面這個例子：
下面這矩陣A變成矩陣B的一種可能過程：
那麼如何用數學公式描述這個變換過程呢？
這就涉及到矩陣變換的一句口訣：左行右列。意思就是，矩陣左乘一個初等變換矩陣，則矩陣作相同的行變換；矩陣右乘一個初等變換矩陣，則矩陣作相同的列變換。
則上方的變換過程如下：
第1個變換是第1列與第2列互換位置。則相當於原矩陣A右乘一個初等變換矩陣，這個初等變換矩陣是由單位矩陣交換第1列和第2列位置而得。
第2個變換是第1行加至第2行。則相當於中間矩陣左乘一個初等變換矩陣，這個初等變換矩陣是由單位矩陣的第1行加至第2行而得。
為了加深理解，大家自己來解答下面這道題目吧！