3.初等列變換和常用矩陣
3.1矩陣的初等列變換
1. 互換A的第i列和第j列
2. A的第i列乘以非零常數h
3. A的第i列乘以k加到第j列
3.2初等矩陣
1. 定義：對n階單位矩陣In做一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣；
2. 三種初等矩陣：
1) 第1型：互換單位矩陣的兩行或兩列；
2) 第2型：用非零常數乘以單位矩陣的某行或者某列；
3) 第3型：單位矩陣的某行（列）的常數倍加到另一行（列）。
3. 初等矩陣的應用：
1) 定理：設A是m×n矩陣，如果對A做一次初等行變換得到B，相同的初等行變換作用到m階單位矩陣得到初等矩陣P，則B=PA；如果對A做一次初等列變換得到C，相同的初等列變換作用到n階單位矩陣得到初等矩陣Q，則C=AQ。
2) 推論：設A和B是m×n矩陣，A和B行等價的充分必要條件是B=Ps…P1A,
A和B列等價的充分必要條件是B=AQ1…Qs,A和B等價的充分必要條件是B=Ps…P1AQ1…Qs。
3.3可逆矩陣
1. 定義：設A是n階矩陣。如果存在n階矩陣B，使得AB=BA=In，則稱A是可逆矩陣，B是A的逆矩陣。
2. 性質：
a) 如果A是可逆矩陣，那麼A的逆矩陣是唯一的；
b) 如果A是可逆的，則A-1也是可逆的，並且(A-1)-1 = A；
c) 如果k是非零常數，A是可逆矩陣，那麼kA也是可逆矩陣，並且(KA)-1=K-1A-1；
d) 如果A和B是同階可逆矩陣，則AB也是可逆矩陣，並且(AB)-1=B-1A-1；
e) 如果A是可逆的，那麼AT也是可逆的，並且(A-1)T=(AT)-1；
f) 初等矩陣是可逆的，並且初等矩陣的逆矩陣仍然是初等矩陣；
g) 如果A是可逆矩陣，那麼r(A)=n；
h) 有限個同階初等矩陣的乘積是可逆矩陣；
i) 設A和B都是n階矩陣，如果AB是可逆的，那麼A和B都是可逆的；
j) 設A是n階矩陣，並且AX=β有解，AX=β的解唯一的充分必要條件是A是可逆矩陣，並且唯一解釋X=A-1β。齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是A是不可逆的。
3. 可逆矩陣的求法：設A是n階矩陣
a) 構造n×(2n)矩陣(A,In);
b) 用初等行變換將(A,In)化為簡化階梯形(In,A-1);
c) 寫出A的逆矩陣A-1。
3.4分塊矩陣
1. 定理：如果A是m階可逆矩陣，D是n×t矩陣，那麼一下三個等式成立：。
3.5幾種常見的特殊矩陣
3.5.1對稱矩陣和反對稱矩陣
1. 定義：設A是方陣。如果AT=A，則A是對稱矩陣，如果AT=-A，則A是反對稱矩陣。
2. 命題：如果A是方陣，則A+AT是對稱矩陣，那麼A-AT是反對稱矩陣。
3. 命題：如果A是方陣，則A可以表示一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。
3.5.2對角矩陣
1. 定義：設A是方陣。如果A的對角線以外的元素都為零，則稱A是對角矩陣。
3.5.3數量矩陣
1. 定義：對角元都相等的對角矩陣是數量矩陣。
3.5.4上(下)三角矩陣
1. 定義：設A是方陣，如果A的對角元以下（上）的元素都為零，則稱A是上（下）三角矩陣。
2. 命題：上三角矩陣的轉置是下三角矩陣；下三角矩陣的轉置是上三角矩陣。
3. 定理：上（下）三角矩陣為可逆矩陣的充分必要條件是對角元都不為零；可逆上（下）三角矩陣的逆矩陣還是上（下）三角矩陣。
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