高等代數教學筆記4:矩陣 V

2021-02-19 數林廣記
秩 (I)

對任意矩陣  作一系列初等行、列變換, 都可以將其化為一個標準形

問題 4.65 下列結論等價:

(1) 存在初等矩陣  使得

(2) 存在可逆矩陣  使得 .

為了方便, 我們稱矩陣 為相抵的, 如果  可以由  經過一系列初等 行、列變換得到.

用相抵的語言來說, 任意矩陣  都與某個  相抵, 這樣的 稱為  在相抵下的標準形. 從矩陣初等變換的過程來看,  的標準形的唯一性並不明顯. 不過, 數學是美的, 更是和諧的, 我們的確有

問題 4.66 矩陣  的在相抵下的標準形  是唯一的, 稱  為  的秩, 記為 .

只需證明: 若  與  相抵, 則 . 利用相抵的定義和分塊矩陣乘法不難得到.

矩陣的秩是矩陣的非常重要的不變量, 有很多的應用. 首先我們利用標準形和秩給出矩陣相抵的若干等價條件.

問題 4.67 設 , 則下列結論等價:

(1)  與  相抵;

(2) 存在初等矩陣  使得

(3) 存在可逆矩陣  使得 ;

(4)  有相同的標準形;

(5) .

利用矩陣的秩, 我們很容易給出矩陣可逆的另一個判別法則.

問題 4.68 設 , 則 若且唯若  可逆若且唯若.

這樣, 我們把方陣的行列式與秩建立了一個比較鬆散的聯繫. 對於一般的矩陣, 如果  是方陣,  可能為零; 如果  不是方陣, 無法定義行列式. 此時, 行列式似乎與秩的關係不大了. 然而, 事情並不是這樣的. 我們先來看一個簡單而有趣的例子.

問題 4.69 設  不全為零, 試求 的秩.

問題並不難, 不過其中隱含了很多東西, 例如如下提到的 (I)-(VII) 共七個方面的問題.

(I) 首先注意到  的地位是一樣的. 我們通過初等變換把  或  的位置與  互換. 例如, 第  列互換就把第一行的  的位置互換了. 不過, 我們最好立刻把第  行換了, 這樣的效果用矩陣語言來表述就是

這樣作完後得到的還是反對稱矩陣(為什麼?)

(II) 初等變換是計算矩陣的秩的常規方法. 將  的前兩行互換, 第一行乘以, 第二行乘以 , 就能得到兩個 , 再利用這兩個  可以把前兩行和前兩列的其他元素都化為零, 從而把  化成對角形

仔細計算一下可得右下角的  是零! 由此所有的  的秩都是 , 這個結論有一點奇怪.

(III) 上面的  其實不用計算就可以知道是零, 原因是反對稱矩陣的行列式有獨特的性質.

問題 4.70 設 , .

(1) 若  為奇數, 則 ;

(2) 若  為偶數, 則  為一個以 為變量的多項式的平方. 特別地, 如果 , 則 .

由此,  是三階反對稱矩陣, 自然不是可逆的, 從而 .

(IV) 從分塊矩陣的角度來看, 記, 其中

這樣, 利用  可逆, 我們可以作分塊矩陣的初等變換把  和  化為零. 具體過程為

其中, 

, 

容易得到, 從而計算得 . 前面也說過了, 不用計算而直接利用行列式也能得到 . 實際上我們還有其他方法得到這一點. 只需注意到  是反對稱的, 於是  也是反對稱的. 於是

故 .

這裡的想法有點奇怪, 對一階矩陣也就是一個數取轉置竟然有意想不到的效果! 這個方法實際上證明了如下更一般的結論.

問題 4.71 設  是反對稱矩陣, 則對任意  有 .

(5) 我們在回顧一下 (4) 中的做法. 其中比較隱蔽的是矩陣  的關係! 小心計算一下我們會發現一個奇怪的結論:於是 . 而  是反對稱矩陣!

問題 4.72 設  是反對稱矩陣, 則對任意 ,  也是反對稱矩陣.

這個問題實際上是上一個問題的推廣. 特別地, 我們以後會關注重點關注  為可逆矩陣的情形, 此時, 稱 與  是合同的. 合同是一類特別的相抵, 它保持矩陣的反對稱性, 也保持對稱性.

對於我們的情形,  是三階反對稱矩陣, 其對角線上的元素自然都是 , 即 .

(VI) 對於一般的反對稱矩陣, 我們也可以用上述方法作初等行列變換, 使得左上角的二階矩陣是可逆的, 這樣就同樣可以作初等變換. 於是可得

問題 4.73 證明: 反對稱矩陣的秩一定是偶數.

(VII) 上述過程的分塊矩陣技巧很有用, 可以推廣到一般非反對稱矩陣情形.

問題 4.74 , 其中  可逆, 證明:

利用這個結論我們有

問題 4.75 設 ,  的某個 階子式非零, 則 .

反之, 我們有

問題 4.76 ,  的所有  階子式都是零.

(1) 對  作任何一種初等行列變換, 得到的矩陣的所有  階子式也是零;

(2)  的標準形的所有  階子式也是零, 從而 .

上述結論綜合在一起, 我們就得到了用行列式來刻畫一般矩陣的秩的方法.

問題 4.77 設 , 則 若且唯若  的某個  階非零, 且  的所有  階子式都是零.

有了如上秩的判別法, 如下問題就不難了.

問題 4.78 設 , 證明:

(2) 若 , 則 .

我們稍微停一下. 目前為止, 我們遇到了矩陣中的好幾種變換. 在對可逆矩陣作初等變換的時候, 我們偶然間發現了相似的概念, 即

研究矩陣的初等變換下的標準形時, 我們有相抵的概念, 即

在上面的討論中, 我們又發現了合同的概念, 即

上面的  都是可逆矩陣. 這樣, 我們在短時間內發現了矩陣裡面的三個主要關係, 其中的相抵是最基本的, 相似和合同實際上是特殊的相抵. 它們有各自的特點, 也有一些共性, 比如如下的性質, 這也是多項式的同餘關係和整數中的同餘關系所滿足的.

問題 4.79 矩陣的相抵(相似、合同)是等價關係, 即它具有如下性質:

(1) 反身性: 對任意矩陣 ,  與自身相抵;

(2) 對稱性: 設  與  相抵, 則  與  也相抵;

(3) 傳遞性: 設  與  相抵,  與 相抵, 則  與  也相抵.

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