首先, 要承認線性變換最重要的知識點就是不變子空間. 因為不變子空間不好用矩陣的語言進行說明, 同時矩陣和線性空間也沒有不變子空間的概念. 說拿下線性變換就等於拿下高等代數的半壁江山, 而不變子空間也是線性變換的半壁江山(剩下的半壁江山多數可以用矩陣進行說明). 另外, 值得強調的事兒是: 揚哥的分水嶺(連結)其實也說的是不變子空間(根子空間)的直和分解問題. 當然, 除了分水嶺, 還有很多關於不變子空間的題目, 其中主要是關於核與值域的題目. 所以就有如下的關係:
高等代數→線性變換→不變子空間→核空間與值域空間
今天我們的內容是關於線性變換不變子空間的求法. 通常情況下, 線性變換的不變子空間是很多的. 例如空間上的恆等變換, 顯然任意的子空間都是恆等變換的不變子空間. 同理, 對數乘變換也有同樣的結果. 於是, 線性變換的特徵子空間的任意子空間都是線性變換的不變子空間, 所以但凡有一個特徵子空間的維數大於等於 2, 那求所有的不變子空間就是一件非常麻煩的事兒. 而一般地, 我們見到的都是特徵子空間維數為 1 的題目.
首先, 最簡單的就是線性變換的特徵值互異, 這時候所有的特徵子空間都是 1 維的, 而不變子空間就是某些特徵子空間的直和:
另一個特徵子空間維數為 1 的例子就是若爾當塊對應的線性變換, 這時候有如下結論:
在線性變換裡面, 我們常見的不變子空間有特徵子空間與根子空間, 其實還有一種經常看到的不變子空間: 循環子空間. 這裡揚哥做個簡單的介紹:
關於循環子空間, 最重要的結論如下, 其涉及到的是矩陣的有理標準形.
當然每日一題只是用到了簡單的循環子空間知識點, 學習一下唄!
提醒: 7 月 15 號開始強化講義的同學, 今天應該開始分水嶺的學習了. 揚哥這次用了四節課的時間來講分水嶺, 注意不要丟了第四節. 認真反覆學習這四節課, 努力的楊樹林都會成為高代高手, 從而將來在考場上可以傲視群雄, 所向披靡.
高等代數精彩知識點連結:
矩陣的 Kronecker 積
高等代數 NB 的分水嶺
線性映射
矩陣分解匯總
覆蓋定理的證明
相似與合同一起處理問題的一種手段
覆蓋定理
反對稱矩陣的性質
冪等矩陣的性質
二次型的展開式及打洞原理的應用
利用特徵值判斷矩陣的可逆性與正定性
實矩陣復特徵值成對出現的應用
不定二次型問題
圓盤定理與二次型最優化問題
同時合同於對角矩陣
等價標準形的應用
矩陣方程的解法
冪零矩陣的性質
伴隨矩陣的一些問題
逆矩陣的應用
秩一矩陣的性質
秩不等式總結
線性空間的和與交
數構成的線性空間問題
實函數線性空間的問題
線性方程組的應用
線性方程組的解法
打洞原理
拆分法
範德蒙行列式的變形與應用
行列式的多項式方法及範德蒙行列式的證明
行列式定義的應用
多項式的分解問題
帶餘除法的應用
單位根的性質與應用
艾森斯坦判別法的證明與應用
點擊閱讀原文, 報名揚哥數分高代輔導課程. 高等代數強化講義, 你真的應該用一下.