(大綜合)矩陣方法與線性變換方法證實(反)對稱矩陣的正交對角化

2021-03-02 數學考研李揚

實對稱矩陣正交相似與對角矩陣, 這是高代中最簡單也是最重要的結果. 它的證明可以用矩陣的方法, 也可以用線性變換的語言. 

矩陣的語言大家讀起來肯定會感覺非常簡單, 同時這種方法也是極其重要的, 在揚哥的強化講義上已經給出了對應的練習與解答, 希望大家好好學習. 

接下來是利用線性變換的語言證明, 自然是需要用到不變子空間. 揚哥說: 線性變換比矩陣好用、 難, 其最主要的原因是線性變換有不變子空間的概念, 而矩陣沒有. 所以線性變換的學習, 最要重視的就是不變子空間. 自然地, 在歐式空間上, 不變子空間的更近一步就是正交補空間, 這需要特殊注意. 

以上利用線性變換證明的方法是非常好用的, 其關鍵是用到了以下定理, 它是關於正交補空間與不變子空間的:

最後, 大家可以練習反對稱變換:

與此同時, 證明

任意的實反對稱矩陣都正交相似於對角矩陣. 

作為提示, 揚哥列出下面的 3 點, 希望大家通過思考, 把握好高代的整體性. 

1. 對應實對稱矩陣的特徵值都是實數, 實反對稱矩陣的特徵值是零或者純虛數, 並且虛數成對出現, 這是常識. 

2. 實對稱矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量是正交的, 那反對稱矩陣有沒有類似的性質呢?

3. 下面的這個命題也是常識, 記住它好不好?

歡樂頌裡面的小騷「包」

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