問題引導的代數學: 線性函數與雙線性函數 II

2021-01-14 數林廣記
非退化雙線性函數

由於

問題 7.24 設

(1)

(2) 若

(3) 若

(4) 對任意非零

滿足上述條件的雙線性函數稱為非退化的或滿秩的. 上述條件 (2), (3) 可以換一個角度來看.

問題 7.25 若

於是我們有映射

於是

(1)

(2)

(3)

我們知道, 有限維時, 由於

正交關係

上個問題的討論中需要考慮

一般地, 如果 正交的. 這個名稱來源於解析幾何, 平面或空間向量的垂直可以用它們的內積為零來表示, 而內積就是特殊的雙線性函數, 這是我們下一章 Euclid 空間的主要內容.

正交可以推廣到子空間之間的正交, 就如同垂直於平面的直線一樣. 對任意

自然是 左正交補和右正交補.

值得注意的是, 一般情況下,

正交關係如果具有對稱性那就會好很多, 這引出了一個很有意思的問題. (有意思的是, 我在考慮這一段如何寫的時候, 林開亮老師突然在微信中建議我用這個問題! 他寫過一篇文章, 談這個問題與環論中的華羅庚引理(關於環的同態與反同態)的聯繫以及其他的應用, 見林開亮, Hua引理及其應用, 數學傳播, 34 卷 3 期, 39-48, 2010.)

問題 7.26  設

(1) 正交關係是對稱的, 即

(2) 對任意的

(3) 對任意

(4)

或者

需要注意的是, (3) 和 (4) 不一樣!

有點意外, 我們由正交關係自然得到了我們想要討論的對稱和反對稱雙線性函數. 不難得到它們的矩陣形式.

問題 7.27  設

(1)

(2)

(3)

我們自然會關心雙線性函數的度量矩陣能否簡單一些, 或者說矩陣在合同下有沒有好的標準形. 在研究線性變換的時候, 我們已經體會到了空間分解的重要性: 把大空間化小就能把複雜問題化簡. 在這裡, 我們自然也要考慮空間分解: 如果把

正交分解

如下問題是我們出發點.

問題 7.28 設

(1) 非退化子空間;

(2)

(3)

(4)

(5)

這種分解在後文中很有用, 尤其是在 Euclid 空間中, 在那種情況下,

當

反對稱雙線性函數

考慮空間的正交分解, 我們需要尋找非退化子空間, 自然要從低維的開始找起. 首先考慮一維子空間. 有一個意外的情況: 任何一維子空間可能都是退化的!

問題 7.29  設

(1) 對任意

(2)

不過, 只要

問題 7.30  記

進一步,

問題 7.31 存在

使得

上述分解的矩陣形式為

問題 7.32 設

其中

用矩陣語言來說就是

問題 7.33   設

於是有個令人意外的結論是

問題 7.34   設

辛空間

若反對稱雙線性函數

問題 7.35 設

(1)

(2) 存在

(3) 存在

實線性空間 辛空間. 我們稱 (3) 中的基為 辛基, 此時的度量矩陣

問題 7.36   設 辛變換, 若

則

所有辛變換的全體記為

問題 7.37 (1)

(2) 若

非退化的雙線性函數在幾何中有重要的應用, 是相應空間的「度量」, 是平面和三維空間的內積的推廣. 研究這樣的空間時, 線性變換自然也要發揮作用. 不過, 由於空間中有了度量, 線性變換就需要與度量相容, 要保持度量不變, 即滿足上述問題中的條件, 這些特殊的線性變換的全體又構成了一個新的代數研究對象——群. 後面我們會重點研究一種特殊的度量及其變換.

對稱雙線性函數

與反對稱線性函數的研究思路一樣, 我們首先找對稱雙線性函數的非退化子空間.

問題 7.38  設

(1) 存在

(2)

進一步,

問題 7.39 存在

使得

用度量矩陣的語言來說就是

問題 7.40 設

(1)

(2)

其中,

這實際上是研究對稱雙線性函數的出發點: 雙線性函數在不同基下的度量矩陣是合同的, 我們自然希望選擇合適的基使得度量矩陣比較簡單, 例如希望度量矩陣是對角形, 這樣就自然得到了對稱雙線性函數. 進一步, 任意

上述結論用矩陣語言來說就是

問題 7.41  設

二次型

我們知道雙線性函數

問題 7.42   設

(1)

(2)

我們稱 二次型函數. 於是,

問題 7.43

如果選定

問題 7.44  設

稱 二次型, 將其展開就是一個

同一個二次型函數

稱為 標準形.

化標準形

我們有四個不同的研究對象:

問題 7.45   (1) 求

(2) 設

(3) 求

(4) 求可逆變量替換

上述幾個問題的解答步驟是一樣的. 設

問題 7.46 (1) 若

(2) 令

(3) 如果

(4) 若

可轉化成 (1).

利用歸納法, 可以得到一組基使得

問題 7.47   (1) 將上述過程用矩陣合同的語言表述;

(2) 將上述過程用可逆線性替換(即配方法)的語言表述.

用配方法的時候需要注意, 作的線性替換必須是可逆的.

問題 7.48   用配方法化以下二次型 為標準形:

很容易看出來

這時作線性替換需要小心一點.

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