關於函數奇偶性的推文發出後，陸續有不少人問我：「到底為什麼叫奇函數、偶函數？」看來確有很多人不知來源，其實信息就隱藏在教材中，只是我們沒有多加思考，教材編寫者大概也沒有意識到。最近終於有人想到了冪函數，說明認真思考一下還是有可能猜出緣由的。柯西應該是最早給奇偶函數命名的人，他正是基於冪函數指數的奇偶性決定了函數值的某種對稱性從而定義了奇偶函數。不過僅知出處不夠，它只能引導我們去掌握教學的設計方向，實際的設計還是需要動點腦筋的。
我來設計一個簡單的教案吧，從這個教案不僅可以了解奇偶的來歷，而且可以引導學生自己給這樣的函數取個合適的名字，換句話說，概念可以由學生抽象出來。當然我說的奇偶性並非出自我的杜撰，是有案可稽的，不信可以多翻幾本國外的微積分教材，從中一定可以找到出處。也就是說，我說的奇偶函數的來歷並非由我合情推理而來，奇偶函數的概念本就由此得名。
我這個教案僅僅到概念生成為止，大概半節課時間，後半節課的設計就很容易了。為節約篇幅，這裡只提供若干個問題，老師只要引導學生把這些問題搞清楚，概念自然就出來了。
問題1. 函數y=x^2與y=1/x的定義域有什麼特點？
學生的回答可能五花八門，甚至得不出定義域關於原點對稱的結論，老師可以準備一個備用題作為必要時的進一步引導：y=(1-x^2)^1/2的定義域有什麼特點？如果學生還不能概括出關於原點的對稱性來，恐怕就要反思過去的教學是否培養過學生的觀察力！😄
問題2.這些函數在關於原點對稱的兩個點處的函數值有關係嗎？是什麼關係？為什麼會有這樣的關係？
考慮對稱點處函數值之間的關係是很自然的一件事，因為這兩個點僅相差一個符號。
問題3.如果n是整數，y=x^n的定義域也有與問題1中的函數類似特點嗎？在對稱點處的函數值有關係嗎？
雖然教材在函數的奇偶性後面才會介紹冪函數，但對於以自然數為指數的函數，學生沒有任何理解上的難度。
問題4.只有諸如y=x^n的函數才有上述特徵嗎？還有沒有其它形式的函數具有定義域關於原點對稱以及對稱點處的函數值相等或符號相反的特徵？
學生應該不難構造出分段函數。這個問題的意圖很清楚，如果只有指數為整數的冪函數才有這樣的特徵，就不值得給這些函數另取一個名字了。正是因為還有很多函數具有這些特徵，所以有必要給這些函數一個名稱。
問題5.你覺得給具有上述特徵的函數取個什麼樣的名字合適？為什麼？
問題6.如果把這些函數的圖像畫出來，這些圖像具有什麼特點？
6個問題循序漸進，層層深入，逐步引導學生發現這些函數的特徵並自己給它們取個合適的名字。
通過這些問題的層層誘導，你能理解奇偶函數為什麼叫奇偶嗎？
當然，知道了函數的奇偶性後可以省點事，不必討論整個定義域上的函數，只討論定義域的一半便可以。