在研究奇函數和偶函數之前，不得不提什麼是奇的關係和什麼是偶的關係(因為函數是特殊的關係)，以及奇偶關係在圖像上成什麼樣子的。再由這兩種關係引出奇函數和偶函數的判斷方法。
一，偶的關係和偶函數
首先看一下什麼是偶的關係以及偶函數
A relation is said to be even if (-x, y) is in the relation whenever (x, y) is. If the relation is defined by an equation,it is even if (-x, y) satisfies the equation whenever (x, y) does. If therelation is a function f(x), it is even if f(-x)=f(x) for all x in the domain of f(x). The graph of an even relation or function is symmetric with respect to the y axis.
在判斷偶的關係和偶函數的時候，我們從兩個方向判斷，即代數方向(algebraically)和圖像方向(graphically)。
代數判斷中，需要通過具體代數表達來去判定，圖像判斷中需要用圖像特點來判斷。在代數判斷中，又分為兩個部分，非函數關係式還有函數關係式這兩個分類。在非函數關係式中，也就是 x 與 y 之間混合在一起，形成一個等式，並且這個等式不能轉換成y是x的函數的形式（比如 x2+x2y2-x4y=3，雖然這樣不是函數，有時也會稱這樣的等式為隱函數，知道就可以了），這個時候用帶點（-x, y）到關係式中的判斷最為簡便。如果帶入 (-x, y)，原關係式不變，那麼就是偶的關係，改變了就不是了。如果要判斷的關係式是明顯的x, y之間函數關係，那麼就用偶函數的定義式 f(-x)=f(x)去判斷會非常簡便。
說完代數判斷，再研究圖像判斷的方法。相對代數判斷，圖像判斷很簡單，就是觀察給出的關係式圖像是否關於y軸對稱。如果圖像關於y軸對稱，那就是偶的關係或是偶函數，不對稱就不是。實際上，與其說是圖像判斷，不如說是圖像特點，偶的關係式或者偶函數，他們的圖像是關於y軸對稱的。
下面是具體的題目舉例：
1. { (1, 0) (-1, 0) (3, 0) (-3, 0) (5, 4) (-5, 4) } is an even relation because ( -x, y ) is in the relation whenever (x, y) is.
2. x4+y2=10 is an even relation because (-x)4+y2=x4+y2=10
二，奇的關係以及奇函數
接下來，我們再看看奇的關係以及奇函數的特點：
A relation is said to be odd if (-x, -y) is in the relation whenever (x, y) is. If the relation is defined by an equation,it is odd if (-x, -y) satisfies the equation whenever (x, y) does. If therelation is a function f(x), it is odd if f(-x) = -f(x) for all x in the domain of f(x). The graph of an odd relation or function is symmetric with respect to the origin.
同樣，在判斷奇的關係和奇函數的時候，我們也是從兩個方向判定，即代數方向(algebraically)和圖像方向(graphically)。在代數判斷中，還是分為兩個部分，非函數關係式還有函數關係式這兩個分類。在非函數關係式中，用帶入點（-x, -y）到關係式中的判斷方法最為簡便。如果帶入 (-x, -y) 到等式中，原關係式不改變，那麼就是奇的關係，改變了就不是了。如果要判斷的關係式是明顯的 x, y 之間函數關係，那麼就用奇函數的定義式f(-x)=-f(x) 去判斷。說完代數方法判斷之後，研究一下圖像判斷的方法。相對代數判斷，圖像判斷很簡單，就是觀察給出的關係式圖像是否關於原點對稱。如果圖像關於原點對稱，那就是奇的關係或是奇函數。關於原點對稱的圖像，又可以稱為rotation symmetry，即旋轉對稱。顧名思義，按照固定的點，旋轉一下，圖像還是原來的樣子，就是旋轉對稱。總之，奇的關係和奇函數，它們的圖像關於原點對稱。
下面是具體的題目舉例：
5. { ( 5 , 3 ) ( -5, -3 ) ( 2 , 1 ) (-2, -1) ( -10 , 8 ) ( 10 , -8 ) } is an odd relation because ( -x , -y ) is in the relation whenever ( x , y ) is.
對於函數，一般是奇，偶或者非奇非偶函數中的一種，但是對於這種 x, y 關係式的形式，可以表現出既有奇的關係又有偶的關係。在代數式中，滿足帶入（-x, y）和（-x,-y）到等式之後，都使得等式保持不變。圖像上要同時兼具關於 y 軸對稱和原點對稱。
請看例題：
6. x4+y2=10 is an oddrelation because (-x)4+(-y)2=x4+y2=10.Note that x4+y2=10 is both even and odd.
上面這個等式，就滿足既有奇的關係又有偶的關係。
最後作為補充，我們可以試著總結一下什麼樣的關係式，它的圖形是關於x軸對稱的。我們已經知道 （-x, y），（-x, -y） 帶入之後的等式與原關係式一樣的時候，圖形分別是關於 y 軸和原點對稱。我們發現，對（x, y）點進行變化，有 (-x, y), (-x, -y)，就還差（x, -y）這個點，結果，也恰巧就是這個點，帶入之後使得等式和原關係式是一樣的，則可知道這個關係式的圖像是關於x軸對稱的。比如點（1, 2 ) ( 1, -2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , -3 ) ( 4 , 4 ) ( 4 , -4 ) 將這些點描繪到圖像上，關於x軸對稱。
The sum of even functions is even. The sum of odd functions is odd. The product of an even function and an odd function is odd. The product of two even functions or two odd functions is even.
函數之間的奇偶組合也是和數字之間的奇偶組合呈現出不同的特點。規律不用去記憶，直接拿定義去判斷合成之後的關係式或者函數式的奇偶關係即可。
只要我們按照奇函數和偶函數的定義去一步步判定，奇函數和偶函數這個知識點，還是很簡單的。
最後，課後習題詳解：
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