一起來討論特殊函數、三角函數誘導公式、基本初等函數圖像的性質

大家好，我是專升本數學學霸，這次我們繼續來討論分段函數、三角函數誘導公式、基本初等函數圖像的性質。那你知道分段函數、三角函數誘導公式、基本初等函數圖像的性質嗎？學霸來幫你來了。

首先，我們來看看幾個特殊函數。

①常數函數

常值函數(constant function)指值域為一元集的函數，當它為數值函數時常以f(x)=c表示，這裡的c都是constant(常數)的簡寫，常值函數是其值域僅含一個元素的函數。即對該函數定義域一切實數R中的一切X，都有f(x)=a，其中a是一個固定元素。

當c=0時，f(x)=0即是奇函數，又是偶函數。即關於原點對稱，又關於y軸對稱。

當c≠0時，f(x)=c是偶函數，關於y軸對稱。

當c=2時，f(x)=2，其函數圖像如圖1所示：

如圖1 f(x)=2的函數圖像

②最簡單的絕對值函數，函數表達式如下：

其圖像如圖2所示

圖2 y=|x|的函數圖像

由圖像可知，絕對值|x|的定義域 x∈R，值域 y∈[0,+∞）函數圖像是偶函數，關於y軸對稱。函數y=|x|在（-∞,0]是單調遞減，在[0,+∞）是單調遞增。

③分段函數

絕對值函數也是分段函數的其中之一。

分段函數，就是對於自變量x的不同的取值範圍，有著不同的解析式的函數。 它是一個函數，而不是幾個函數。

分段函數的定義域是各段函數定義域的併集，值域也是各段函數值域的併集。

分段函數的應用非常廣，例如：汽車按不同的路程收費、水電按用戶使用的不同程度收費、收稅情況等。

特殊函數很多，只考慮以上三種常見的函數。

接下來，我們來看看誘導公式。畫象限角的角度方法口訣：「正逆負順」，其含義是：如果是正角，從第一象限原點開始按逆時針畫出相應的角度；如果是負角，從第四象限原點開始按順時針畫出相應的角度。

象限角函數為正的口訣：「一全二正弦三切四餘弦」其含義是：第一象限的正弦值、餘弦值、正切值、餘切值都為正值；第二象限只有正弦為正值，其他函數值為負值；第三象限只有正切值和餘切值為正值，其他函數值為負值；第四象限只有餘弦函數為正值，其他函數值為負值。

誘導公式如下：

①先把a當成銳角，π+a是第三象限角。則有：

②先把a當成銳角，2kπ+a是第一象限角。則有：

③先把a當成銳角，π-a是第二象限角。則有：

④ 先把a當成銳角，-a是第四象限角。則有：

⑤先把a當成銳角，2kπ-a是第四象限角。則有：

⑥先把a當成銳角，π/2-a是第一象限角。則有：

⑦先把a當成銳角，π/2+a是第二象限角。則有：

總結，誘導公式口訣：「奇變偶不變，符號看象限。」中的「奇變偶不變」其含義是 針對於π/2的倍數，π/2的奇數倍，函數名要變；π/2的偶數倍 ，函數名不變；「符號看象限」的含義是 看該角是第幾象限角，就按即象限角的正負來定。特別注意的是π/2的奇數倍時的正負是看原來的三角函數名的正負。

例如：

兩角和與差的公式如下

兩倍角公式如下：

半角公式如下：

最後，我們一起來來看看，幾個基本初等函數及圖像性質。

①冪函數

一般地，y=x^α（α為有理數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱為冪函數。

例如函數y=x^0、y=x^1、y=x^2、y=x^-1（註：y=x^-1=1/x、y=x^0時x≠0）等都是冪函數。

當α為奇數時，函數y=x^α為奇函數；當α為偶數時，y=x^α為偶函數。當α為0時，y=x^0=1是常數函數；當α＜0時，函數y=x^α是分式函數；當0＜α＜1時，函數y=x^α是根式函數；當α=1時，y=x是正比例函數；當α=2時，y=x^2是二次函數。這些函數都有一個共同特點就是必過坐標（1,1）點。

②指數函數

一般地，y=a^x函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是 R ,值域是（0，+∞）。 注意，在指數函數的定義表達式中，在a^x前的係數必須是數1，自變量x必須在指數的位置上，且不能是x的其他表達式，否則，就不是指數函數。

如：

都是指數函數；注意：指數函數前係數為3，故不是指數函數，如：

當 a>1時，則指數函數單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減的。都是非奇非偶函數。指數函數都必過坐標（0,1）點。

指數函數的運算，同低指數冪相乘除運算，底數不變，指數相加減（註：a>0）：

③對數函數

對數函數是以冪（真數）為自變量，指數為因變量，底數為常量的函數。

如果a^x =N（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底N的對數，記作

讀作以a為底N的對數，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。一般地，函數

（a>0，且a≠1）就叫做對數函數，其中「log」是拉丁文logarithm（對數）的縮寫。其中 當a=e時，y=ln x,稱為自然對數，當a=10時，y=lg x,稱為常用對數。

對數函數的定義域x>0.值域y∈R。非奇非偶函數。當0<a<1,函數f(x)是減函數；當a>1時，函數f(x)是增函數。

對數函數的運算：

附註：特殊函數值

以上內容是補充知識，這塊內容專升本書上沒有，對專升本考試有一定的幫助。下次我們討論關於極限的內容。

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