在大學數學的學習中我們已經知道，有很多函數是不能用我們所熟知的初等形式表達的。但是利用級數，我們能夠得到這種函數的一個比較易於觀看和分析的形式，亦即此種函數的非初等表達。因為具體地考慮到級數形式中的作為單獨通項的函數的形式的簡潔性，所以事實上，在數值分析和物理學等一些科學的研究中，使用函數的級數形式甚至比原函數本身都更加普遍。
而今天我們來介紹一個的特殊函數，這個特殊函數沒有辦法被寫成初等形式，但是在工程數學和物理學研究中（尤其是電動力學和量子力學中）應用十分廣泛。
形如
的微分方程稱作m階貝塞爾(Bessel)方程，m可以是任意複數，當m含有虛數單位i時，它被稱作虛宗量的。這個方程需要使用廣義冪級數法解出它的級數形式如下：
其中上面一個叫作m階貝塞爾(Bessel)函數或者第一類貝塞爾函數，下面一個叫作m階諾伊曼(Neumann)函數或者第二類貝塞爾函數。注意：在國外的一些教材上，諾伊曼函數的符號使用Y而不是N。
下面的圖展示出了它們部分階數的的圖像：
這個圖像體現了一種物理學中的阻尼振動的形式。
這個函數是不初等的，用級數表達形式如上。對於初學者而言，它們的形式可能比較嚇人，但是其實不用畏懼，因為它被寫成了一個很好的形式：冪級數形式。聯繫之前的知識，冪級數在收斂域中具有很好的逐項可微、可積性，所以了利用冪級數中的知識，我們就可以很好地分析它的性質和進行具體的應用了。
下面是一些有趣的結論：
當m為非負整數時，有如下關係：
半奇數階的Bessel函數和Neumann函數可以表示成初等函數：
兩類Bessel函數的相關積分形式
Bessel積分形式：
Poisson積分形式：
Mehler-Sonine積分形式：
以上大致便是一些Bessel函數常用的形式或者性質。下面我們通過兩個具體的積分問題來觀察下Bessel函數的應用。
Qn.1 求證積分等式：
其中K(x)為第一類完全橢圓積分。
提示：
第一類完全橢圓積分可以由Gauss超幾何函數定義如下
解：如下圖所示。其中0階Bessel函數的平方的級數形式可以由Cauchy乘積輕易求得。
Qn.2 證明Hankel積分公式的一個特殊形式：
解：如下圖所示。
從上面的介紹和例題，我們能看出，常見特殊函數的研究幾乎離不開其級數形式，而級數形式也易於分析。此外我們也觀察到，在討論Bessel函數中，我們也利用了一些別的特殊函數，比如Gauss超幾何函數。
在之後的文章中，我們將繼續介紹第三類Bessel函數—Hankel函數，以及更多有關Bessel函數的重要性質和有趣的知識，此外也將介紹更多的常用特殊函數，比如Gauss超幾何函數、Lambert-W函數等等。
References:
《特殊函數概論》, 王竹溪 郭敦仁
《數學物理方法》, 周明儒
《偏微分方程講義（第3版）》, O.A.奧列尼克
《常微分方程講義（第2版）》, 丁同仁 李承治
Bessel function, Wikipedia
Tables of Integrals, Series, and Products, Eighth Edition, I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Daniel Zwillinger, Editor, Victor Moll (Scientific Editor)
HANDBOOK OF Special Functions Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas, Yury A. Brychkov
積分競賽 season 5, tieba, Baidu