超越函數的圖像與性質1

2021-01-14 全不知老師

[引言]本文擬從高考應試的角度，詳細分析六大類常見超越函數的圖像與性質。

 

[常見超越函數的形式]指數函數ex、對數函數lnx以及冪函數xn是基本初等函數，它們兩兩組合，可以構成下列六大類超越函數：


[形如ex/xn的函數]先討論n=1時的情形，即令

函數的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)，對x求導有

令f′(x)=0，得x=1。關於x的變化情況，有

x

(-∞,1)

1

(1,+∞)

f＇(x)

－

0

＋

f(x)

↘

極小值

↗

即函數在x=1處取得最小值，其值為f(1)=e。

 

又當x→-∞時，f(x)→0；當x→0-時，f(x)→-∞；當x→0+時，f(x)→+∞；當x→+∞時，f(x)→+∞。

 

函數的圖像如圖中實線所示，虛線為導函數的圖像。

當n=2時，函數的圖像如圖所示，虛線為導函數的圖像。

當n=3時，函數的圖像如圖所示，虛線為導函數的圖像。


可見，對於形如ex/xn的函數，其極值點隨著n的增大而增大，且恰為xn的次方數。具體如下表所示。

函數

極值點

極值

間斷點

y=ex/x

x=1

y=e

x=0

y=ex/x2

x=2

y=e2/4

x=0

y=ex/x3

x=3

y=e3/27

x=0

 

將上述函數的圖像放在一起，如下圖所示。

記憶口訣：指比線，踩e線；一二三次往下探。


[形如xn/ex的函數]先討論n=1時的情形，即令

函數的定義域為R，對x求導有

令g′(x)=0，得x=1。關於x的變化情況，有

x

(-∞,1)

1

(1,+∞)

g＇(x)

＋

0

－

g(x)

↗

極大值

↘

即函數在x=1處取得最大值，其值為g(1)=1/e。

 

又當x→-∞時，g(x)→-∞；當x→+∞時，g(x)→0；當x=0時，g(0)=0。


函數的圖像如圖中實線所示，虛線為導函數的圖像。

當n=2時，函數的圖像如圖所示，虛線為導函數的圖像。

當n=3時，函數的圖像如圖所示，虛線為導函數的圖像。

 

可見，對於形如xn/ex的函數，其極值點隨著n的增大而增大，且恰為xn的次方數。具體如下表所示。

函數

極值點

極值

零點

y=x/ex

x=1

y=1/e

x=0

y=x2/ex

x=2

y=4/e2

x=0(二重)

y=x3/ex

x=3

y=27/e3

x=0(三重)


將上述函數的圖像放在一起，如下圖所示。

記憶口訣：線比指，頂1/e線；一二三次往上探。


[形如xnex的函數]先討論n=1時的情形，即令

函數的定義域為R，對x求導有

令h′(x)=0，得x=-1。關於x的變化情況，有

x

(-∞,-1)

-1

(-1,+∞)

h＇(x)

－

0

＋

h(x)

↘

極小值

↗

即函數在x=-1處取得最小值，其值為h(-1)=-1/e。

 

又當x→-∞時，h(x)→0；當x→+∞時，h(x)→+∞；當x=0時，h(0)=0。

 

函數的圖像如圖中實線所示，虛線為導函數的圖像。

當n=2時，函數的圖像如圖所示，虛線為導函數的圖像。

當n=3時，函數的圖像如圖所示，虛線為導函數的圖像。

可見，對於形如xnex的函數，其極值點隨著n的增大而減小，且恰為xn的次方數的相反數。具體如下表所示。

函數

極值點

極值

零點

y=xex

x=-1

y=-1/e

x=0

y=x2ex

x=-2

y=4/e2

x=0(二重)

y=x3ex

x=-3

y=-27/e3

x=0(三重)

 

將上述函數的圖像放在一起，如下圖所示。


記憶口訣：指乘線，踩-1/e線；一二三次交錯探。

 

[後記]本文討論了常見超越函數的圖像和性質，希望對同學們速解函數與導數的選填題有所幫助。

 

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