線性代數拾遺(三):線性變換以及矩陣的意義

2021-01-17 算法與數學之美

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線性代數拾遺（一）：線性方程組、向量方程和矩陣方程

線性代數拾遺（二）：線性方程組的解集及其幾何意義

上一章我們討論了齊次和非齊次兩種線性方程組的解集，以及它們的幾何意義。由齊次線性方程組，我們引入了零空間的概念；而由非齊次線性方程組，我們引入了列空間的概念。這兩個空間目前是我們理解線性方程組的橋梁，未來還會對這些空間進行更進一步的討論。在這之前，讓我們先來研究一下矩陣的意義。

之前的兩章中，矩陣是在矩陣方程中出現的，當時我們理解它的意義為「對向量的一種封裝」，也就是一種「數據」的形式理解矩陣的。這一章，我們引入矩陣的另一層意義：線性變換。


一、變換

假如有如 Ax=b 形式的方程：

，這次我們換個角度，把A看作一個整體，整個方程就是一個 4 維向量x乘以矩陣A後得到一個 2 維向量b。以這個觀點來看的話，矩陣A就相當於一個從一個向量集映射到另一個向量集的函數！。


假設x 是n 維向量，b是m維向量，則A 就是一個到 的變換。這個變換的定義域是，上域是，記作T:→。xx 是 空間中的一個向量，T(x) 就是其變換到空間中的像，而全體像 T(x) 的集合就稱為變換T的值域。圖示如下：從這種觀點來看，矩陣就是一個函數：矩陣既可看作是數據的表示，又可看作是表示變換的函數，這不禁讓我聯想起了 lisp 裡的「同像性」，也就是「代碼即數據」。我不知道他們之間有沒有更深一層的聯繫，不過從這一層面再來看矩陣，感覺又多了一層趣味……除此之外，以動態的眼光來看待矩陣，也有助於我們理解為什麼一些隨時間變化的系統可以用線性代數來建模。比如馬爾科夫鏈中的轉移矩陣，就是用靜態的矩陣來表示一個變換的過程。不難發現，當變換T為x↦Ax ，向量x若有n維，則變換的定義域就是，A就有n列；向量b若有m維，則變換的上域就是，A就有m行（A每一列有m個元素）。而變換的值域就是A中列的所有線性組合組成的集合。

這樣的矩陣，所表達的變換就是一個二維到三維的映射 。


所表達的變換就是一個投影：把R3中的點投影到平面，因為：二、線性變換線性變換是一類滿足線性條件的變換。所謂的線性條件就是：

注意到，向量的加法和數乘運算在變換前和變換後的效果是一樣的，也就是所謂的線性變換保持了向量的加法和數乘運算。我們假設有一個二維向量 ，其中

是 2×2單位矩陣In的列向量。由於線性變換保持加法和數乘運算，所以

這也就是說，對於每一個線性變換T:→，都有唯一一個矩陣A，使得 T(x)=Ax，其中 $ = [ T(_1) T(_1) ] 。。 $ 被稱為是線性變換 TT 的標準矩陣。

總結一下，線性變換是滿足線性條件的變換，所謂線性條件就要求變換前後的加法和數乘運算不變（變換前 a+b 等於 c，則變換後 a'+b' 也等於 c'）。線性變換有兩種描述形式：T:→和 ，後者也被稱為矩陣變換

線性變換強調它作為映射的性質，而矩陣變換則描述了映射是怎樣實現的。三、幾何中的線性變換藉助上面線性變換的性質，我們就很容易理解圖形學中一些專門用於變換的矩陣了，比如 2 維平面上的旋轉矩陣：



四、存在性和唯一性問題有了線性變換的概念，我們再來回顧之前兩章討論的解的存在性和唯一性的問題。4.1 解的存在性

非線性方程組Ax=b可以看做是一個  所在空間到  所在空間的映射。對映射 T:→，如果  中任意向量b都是 中至少一個x的像，則稱T是到  上的映射（或叫滿射），這時，非線性方程組對於任意的  都有解。反過來，如果存在  使得非線性方程組無解，那麼T就不是到 上的滿射。它們的幾何表示如下圖所示：

4.2 解的唯一性

如果任意的  都是 中最多一個向量  的像，那麼就稱T是一對一映射。

一對一映射也就是非線性方程組Ax=b對任意  要麼無解，要麼有唯一解。也就是說，當方程Ax=b有無窮多解時（即方程含有自由變量，即不滿秩，即各列線性相關） T就不是一對一映射，這時齊次方程組Ax=0隻有平凡解。

線性代數及其應用：第3版/（美）萊（Lay, D.C.）著；沈復興等譯. ——北京：人民郵電出版社，2007.7

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編輯 ∑Gemini

 來源：http://mengqi92.github.io




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