線性代數應該這樣學

2021-02-15 高等數學

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0. 引言

線性代數是以解線性方程組為出發點，主要研究線性空間及其上的線性變換.

考慮如下的線性方程組： 

我們引入矩陣

來表示上述線性方程組.

如果不引入矩陣，還有比這更簡潔的方式來描述一個線性方程組嗎？

為了求解這個方程組，Gauss(高斯)對上述線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換，將其化成階梯型矩陣. 這種方法被稱為高斯消元法或矩陣消元法.

高斯消元法的核心就是初等變換. 而初等變換既可看成線性運算，又可用乘法運算來實現.

有了線性運算和乘法運算，上述線性方程組就可以分別表示為向量形式和矩陣形式：

線性代數主要是圍繞著上述兩種形式來求解線性方程組的.

1. 矩陣形式

我們已通過矩陣乘法將線性方程組表示為矩陣形式 

因為任何一個線性方程組的求解最終都歸結為一元一次方程的求解，我們先從的求解過程中看能獲得什麼啟示.

的求解過程如下：

啟示：

如果我們能找到矩陣，使得，則從中，我們可解得：.

對於方陣而言，由此我們引入逆矩陣的概念. 普通矩陣會涉及左右可逆或廣義逆等概念，我們暫且不討論.

而關於逆矩陣，我們主要討論如下三個問題：

1、如何判斷一個矩陣是否可逆？

2、逆矩陣是否惟一？

3、如何計算逆矩陣？

其中第2個問題是平凡而簡單的. 下面我們來看第1個和第3個問題.

先給出一個結論，可逆矩陣包括如下三類：

單位矩陣

由單位矩陣進行一次初等變換得到的初等矩陣

由單位矩陣進行多次初等變換得到的矩陣

下面我們分別討論上述三類矩陣.

1、顯然，單位矩陣 E 是可逆的，且其逆矩陣等於自身.

2、由單位矩陣進行一次初等變換得到的初等矩陣也是可逆的，且其逆矩陣是同類的初等矩陣.

3、那麼，由單位矩陣進行有限次初等變換所得到的矩陣是否可逆呢？答案是肯定的. 

通過初等變換的方法，我們不僅可以判斷一個矩陣是否可逆，而且同時還能計算出其逆矩陣.

補充：
在代數學中，數的運算幾乎佔有支配地位. 正是由於賦予了複數極其豐富的運算：加減乘除，乘方開方，指數對數，微分積分. 我們才能在複數這個舞臺演繹一幕幕精彩絕倫而又令人拍案叫絕的樂章.

可以說，沒有複數就沒有現代的文明！而對矩陣也能進行類似的運算，且大體上服從類似的運算法則，單憑這一點就足以激發你的好奇心了.

矩陣之所以重要，其中一個重要的原因或許就是其具有豐富的運算.

在線性代數課程中，矩陣除了之前介紹的線性運算(加法和數乘)、乘法、求逆外，還有如下運算.

一元運算：轉置、伴隨、共軛.

矩陣函數：行列式、秩、跡.

通過矩陣的運算，我們可以定義一些特殊的方陣，比如：(反)對稱矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣、對合矩陣、正交矩陣等.

另外，關於矩陣運算，還有一個非常重要的技巧需要大家掌握，這就是矩陣的分塊.

關於本章的典型例題將在以後推出～

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最後，是視頻講解～

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